Matematická analýza - požadavky k ústní části SZZ

Pro studenty, kteří začali studovat v roce 2019/2020 nebo dříve

Znalosti uvedené v požadavcích jsou přednášeny v povinných předmětech oboru Matematická analýza nebo jsou součástí vstupních požadavků pro tento obor. Znalosti, které jsou součástí vstupních požadavků, se učí v povinných a povinně volitelných předmětech bakalářského oboru Obecná matematika, zaměření matematická analýza. Podrobnější specifikace je uvedena u každého předmětu zvlášť.

(bd) = bez důkazu

1. Reálná analýza

Předměty pokrývající požadovanou látku

NMMA203 Teorie míry a integrálu (vstupní požadavky)
NMMA403 Reálné funkce 1
NMMA404 Reálné funkce 2

Vysvětlení požadavků:

Teorie míry: znaménkové míry, Hahnův rozklad, Luzinova věta, Jegorovova věta, Radon-Nikodýmova věta, Lebesgueův rozklad míry, Radonovy míry, součin měr (Fubiniova věta), věta o substituci (bd).

Derivování měr: derivace měr, Vitaliova pokrývací věta, absolutně spojité funkce a funkce s konečnou variací, lebesgueovské body, Rademacherova věta.

Hausdorffova míra a dimenze: vnější míra, míra a dimenze, souvislost s Lebesgueovou mírou.

Základy deskriptivní teorie množin: funkce první třídy (body spojitosti), definice borelovské hierarchie, Luzinova oddělovací věta, stabilita analytických množin vzhledem k množinovým operacím, měřitelnost a Baireova vlastnost analytických množin.

2. Komplexní analýza

Předměty pokrývající požadovanou látku

NMMA338 Komplexní analýza 1 (vstupní požadavky)
NMMA408 Komplexní analýza 2

Vysvětlení požadavků:

Meromorfní funkce: definice meromorfní funkce, meromorfní funkce na rozšířené komplexní rovině, meromorfní funkce na komplexní rovině (funkce Gamma a Riemannova zeta funkce), princip argumentu, Rouchéova věta, Mittag-Lefflerova věta, Rungeho věta

Konformní zobrazení: zachovávání úhlů, konformní zobrazení, inverze holomorfních funkcí, Schwarzovo lemma, Riemannova věta

Harmonické funkce dvou proměnných: Vztah harmonických a holomorfních funkcí, Poissonův integrál, vlastnost průměru, Schwarzův princip zrcadlení, Jensenův vzorec.

Nulové body holomorfních funkcí: Nekonečné součiny, Weierstrassova věta o faktorizaci.

Holomorfní funkce více proměnných: Mocninné řady více proměnných a jejich oblasti konvergence, Hartogsova rozšiřovací věta, oddělená holomorfnost, Hartogsova věta o oddělené holomorfnosti (bd).

Analytické pokračování: pokračování podél křivky, elementární analytické funkce - logaritmus a obecná mocnina, operace s analytickými funkcemi, funkce neomezeně pokračovatelné, věta o monodromii, izolované singularity.

3. Funkcionální analýza

Předměty pokrývající požadovanou látku

NMMA331 Úvod do funkcionální analýzy (vstupní požadavky)
NMMA401 Funkcionální analýza 1
NMMA402 Funkcionální analýza 2
NMMA501 Nelineární funkcionální analýza 1
NMMA502 Nelineární funkcionální analýza 2

Vysvětlení požadavků:

Topologické lineární a lokálně konvexní prostory: Definice a generování topologií, Minkowského funkcionál a pseudonormy, omezené množiny, spojitá lineární zobrazení, podmínky metrizovatelnosti a normovatelnosti (důkaz jen v lokálně konvexním případě), oddělovací věty.

Slabé topologie: definice topologie generované prostorem forem a dualita, slabé topologie, Mazurova věta, poláry, věta o bipoláře, Banachova-Alaogluova věta, Goldstinova věta, slabá kompaktnost a reflexivita, Eberlein-Šmulyanova věta (bd).

Spektrální teorie v Banachových algebrách: Základní vlastnosti spektra a spektrálního poloměru, Gelfandova-Mazurova věta, holomorfní kalkulus, vlastnosti Gelfandovy transformace, Gelfandova-Naimarkova věta.

Spektrum omezených a neomezených operátorů: Kompaktní operátory, základní definice neomezených operátorů (symetrický operátor, samoadjungovaný operátor, uzávěr operátoru, uzavřený operátor), definice a vlastnosti adjungovaného operátoru (i pro neomezený operátor), vlastnosti spektra neomezených operátorů.

Diferenciální počet v Banachových prostorech: Derivace ve směru, diferenciál, věty o střední hodnotě, chain rule, parciální diferenciály, Taylorova formule, věta o implicitní funkci a inverzním zobrazení, lokální extrémy, Fermatova podmínka, Eulerova-Lagrangeova rovnice, Lagrangeovy nutné a postačující podmínky pro lokální extrém.

Věty o pevných bodech: Brouwerova věta, Schauderova věta, topologický stupeň - principy konstrukce a základní vlastnosti.

Integrální transformace: Definice Fourierovy transformace na L₁ a její základní vlastnosti, věta o inverzi, Fourierova transformace konvoluce a derivace, Plancherelova věta.

Teorie distribucí: Prostor testovacích funkcí a konvergence v něm, definice distribuce, základní příklady, charakterizace distribuce, řád distribuce, operace s distribucemi (derivování, násobení funkcí), Schwarzův prostor a temperované distribuce, Fourierova transformace funkcí ze Schwarzova prostoru a temperovaných distribucí, její základní vlastnosti.

4. Obyčejné diferenciální rovnice

Předměty pokrývající požadovanou látku

NMMA333 Obyčejné diferenciální rovnice (vstupní požadavky)
NMMA407 Obyčejné diferenciální rovnice 2

Vysvětlení požadavků:

Základní vlastnosti řešení: Carathéodoryho podmínky, existence a jednoznačnost absolutně spojitého řešení, spojitá závislost na počáteční podmínce, věta o opuštění kompaktu, diferencovatelná závislost na počátečních podmínkách (bd), odvození rovnice ve variacích

Soustavy lineárních rovnic: fundamentální systém, Liouvilleova formule, variace konstant, maticová exponenciála a její vlastnosti

Stabilita: věta o linearizované nestabilitě (bd) a stabilitě, Hartman-Grobmanova věta (bd), ljapunovské funkce, orbitální derivace, postačující podmínky pro stabilitu a asymptotickou stabilitu

Dynamické systémy: orbit, omega-limitní množina a jejich základní vlastnosti, topologická ekvivalence, La Salleho princip invariance, Poincaré-Bendixsonova věta (bd)

Bifurkace: definice, nutná podmínka pro bifurkaci, základní typy bifurkací v R, Hopfova bifurkace (bd).

5. Parciální diferenciální rovnice

Předměty pokrývající požadovanou látku

NMMA334 Úvod do parciálních diferenciálních rovnic (vstupní požadavky)
NMMA405 Parciální diferenciální rovnice 1
NMMA406 Parciální diferenciální rovnice 2

Vysvětlení požadavků:

Lineární a kvazilineární rovnice 1. řádu: existence a jednoznačnost řešení pomocí metody charakteristik.

Lineární a nelineární eliptické rovnice: fundamentální řešení Laplaceovy rovnice, principy maxima a jednoznačnost řešení pro obecnou eliptickou lineární rovnici 2. řádu, existence řešení (pomocí Laxovy-Milgramovy věty, použití vět o Fredholmově alternativě, pomocí Galerkinovy aproximace a metody monotonních operátorů), regularita řešení (pomocí diferenčních podílů).

Lineární a nelineární parabolické rovnice: fundamentální řešení rovnice vedení tepla, principy maxima a jednoznačnost řešení pro obecnou parabolickou lineární rovnici, existence řešení (pomocí Galerkinovy aproximace a metody monotonních operátorů, pomocí teorie semigrup).

Lineární hyperbolické rovnice: fundamentální řešení vlnové rovnice v dimenzích 1, 2, 3, konečná rychlost šíření vlny a jednoznačnost řešení pro vlnovou rovnici, existence slabého řešení pro hyperbolickou rovnici s obecným eliptickým členem (pomocí Galerkinovy aproximace, pomocí teorie semigrup).

Pomocný aparát: Sobolevovy prostory a jejich vlastnosti (definice, základní vlastnosti, věty o vnoření a stopách), Bochnerovy prostory a jejich vlastnosti (definice, základní vlastnosti, Aubin-Lionsovo lemma)