Požadavky ke státnicím z Matematických struktur
Vysvětlení požadavků k magisterským státnicím z Matematických struktur pro studenty, kteří zahájili studium v roce 2020/2021 nebo později.
Část zkoušky může (podobně jako výuka v programu Matematické struktury) proběhnout v anglickém jazyce.
1. Matematické struktury (společné požadavky)
Předměty potřebné k pokrytí požadované látky
NMAG401 Algebraická geometrie
NMAG409 Algebraická topologie 1
Detaily ke společným požadavkům
Algebraická geometrie: Zariského topologie, ireducibilní komponenty algebraických množin, souřadnicové okruhy a polynomiální zobrazení, funkční tělesa a racionální zobrazení, biracionální ekvivalence, Hilbertova věta o nulách a její důsledky, lokální okruhy variety v bodech a diskrétní valuační obory, projektivní variety a projektivní eliminace, Bézoutova věta, popis variet pomocí svazku regulárních funkcí.
Algebraická topologie: Homotopie a homotopické typy topologických prostorů, buněčné komplexy, fundamentální grupa, Van Kampenova věta, nakrývající prostory a jejich klasifikace, grupa nakrývacích transformací, singulární a simpliciální homologie a jejich ekvivalence, exaktní posloupnosti homologických grup, věta o výřezu, Mayer-Vietorisova posloupnost, buněčná homologie, axiomatizace homologických teorií.
2. Užší zaměření (dle volby posluchače)
Posluchač si vybere jeden ze čtyř tematických okruhů 2A – 2D a po dohodě s předsedou komise si z tohoto okruhu zvolí ke státní závěrečné zkoušce 2 témata.
Předpokládá se, že posluchač této volbě témat přizpůsobil volbu přednášek v magisterském studiu, aby získal požadované znalosti.
2A. Algebra a logika
Předměty potřebné k pokrytí požadované látky
NMAG405 Universální algebra 1
NMAG450 Universální algebra 2
NMMB415 Automaty a výpočetní složitost
NMAG407 Teorie modelů
NMAG431 Kombinatorická teorie grup
NMAG438 Reprezentace grup 1
Detaily k požadavkům - student si zvolí dvě z následujících témat:
Grupy: Reprezentace grup a grupové algebry, Maschkeho věta, charaktery ireducibilních reprezentací. Centrum grupové algebry, konjugační třídy a rozklad regulární reprezentace. Diskrétní Fourierova transformace na konečné grupě. Prezentace grup, Nielsen-Schreierova věta.
Univerzální algebra: Podalgebry, kongruence, homomorfismy a věty o izomorfismech. Direktní a subdirektní rozklady. Volné algebry, Birkhoffova věta o vztahu variet a rovnicových teorií. Algebraické a relační klony, jejich vztah. Maľcevské podmínky (permutabilita kongruencí, Jónssonovy termy, Taylorův term). Abelovskost a afinní reprezentace.
Kombinatorické a výpočetní aspekty: Turingovy stroje, univerzální stroj a nerozhodnutelné problémy (halting problem, příklady z algebry, Church-Gödelova věta). Třídy složitosti P a NP, splnitelnost booleovských formulí (Cook-Levinova věta), další příklady NP-úplných problémů a redukcí. Automaty a regulární jazyky. Přepisující systémy, Knuth-Bendixův algoritmus.
Logika prvního řádu: Věta o kompaktnosti a její aplikace. Ax-Grothendieckova věta o injektivních polynomiálních zobrazeních na tělese komplexních čísel. Eliminace kvantifikátorů a příklady (teorie hustého lineárního uspořádání a teorie algebraicky uzavřených těles). Příklad důsledku pro definovatelné množiny; o-minimalita reálně uzavřených těles za předpokladu eliminace kvantifikátorů pro teorii reálně uzavřených těles.
2B. Geometrie
Předměty potřebné k pokrytí požadované látky
NMAG411 Riemannova geometrie 1
NMAG433 Riemannovy plochy
NMAG448 Klasické grupy a jejich invarianty
NMAG454 Fibrované prostory a kalibrační pole
NMAG532 Algebraická topologie 2
NMAG533 Principy harmonické analýzy
NMAG534 Nekomutativní harmonická analýza
Vysvětlení požadavků - student si zvolí dvě z následujících témat:
Fíbrované prostory a kovariantní derivace: Tensorová pole na varietách, Riemannovy variety, Levi-Civitova konexe a její kovariatní derivace, paralelní přenos a pojem geodetiky, křivost a torze konexe a jejich geometricky význam, komponenty tensoru křivosti – jejich symetrie a geometrický význam. Laplace-Beltramiho operátor na Riemannově varietě. Hlavní a asociované fíbrované prostory, automorfismy fíbrovanych prostorů. Bianchiho identity, Maurer-Cartanova rovnice. Chern-Weilova teorie, charakteristické třídy.
Riemannovy plochy: Mnohoznačné analytické funkce, Riemannovy plochy, holomorfní a meromorfní funkce na Riemannových plochách, divizory, globální vlastnosti holomorfních zobrazení Riemannovych ploch, tělesa meromorfních funkcí Riemannových ploch, topologické vlastnosti Riemannovych ploch, Hurwitzova věta.
Klasické grupy a jejich invarianty: Klasické lineární algebraické grupy, jejich Lieovy algebry, jejich struktura, jejich regulární reprezentace, diferenciál reprezentace, úplná rozložitelnost, klasifikace pomocí nejvyšších vah. První fundamentální věta teorie invariantů pro grupy GL(m), Sp(n) a O(m). Schur-Weylova dualita, Weylova algebra a Howeova dualita.
Harmonická analýza: Lokálně kompaktní grupy, Haarova míra, základy teorie C*-algeber, Gelfandova transformace, universální obalující algebra a Verma moduly.
Pokročilejší partie algebraické topologie: Kohomologické grupy, věta o univerzálních koeficientech, cup a cap součin, kohomologický okruh, Künnethova formule, vztah orientace a homologie, Poincarého dualita, homotopické grupy.
2C. Teorie reprezentací
Předměty potřebné k pokrytí požadované látky
NMAG438 Reprezentace grup 1
NMAG431 Kombinatorická teorie grup
NMAG442 Teorie reprezentací konečně dimenzionálních algeber
NMAG434 Kategorie modulů a homologická algebra
NMAG538 Komutativní algebra
NMAG401 Algebraická geometrie
Vysvětlení požadavků - student si zvolí dvě z následujících témat:
Grupy: Reprezentace grup a grupové algebry, Maschkeho věta, charaktery ireducibilních reprezentací. Centrum grupové algebry, konjugační třídy a rozklad regulární reprezentace. Diskrétní Fourierova transformace na konečné grupě. Prezentace grup, Nielsen-Schreierova věta.
Konečně dimenzionální algebry: Reprezentace toulců a algebry cest, rozklady a Krull-Schmidtova věta. Algebry nad algebraicky uzavřeným tělesem (obecné konečně dimenzionální algebry a Moritovské ekvivalence s algebrami cest s relacemi). Dědičné algebry a jejich reprezentační typ.
Homologická algebra: Tenzorový součin, Moritovská ekvivalence, funktory Ext a Tor, vztah funktoru Ext k rozšiřování modulů.
Komutativní algebra: Lokalizace, plochost, celistvá rozšíření a zdvihání prvoideálů. Zúplnění, Artin-Reesovo lemma a Krulova věta o průniku. Krullova dimenze a Krullova věta o hlavním ideálu. Regulární posloupnosti a Koszulovy komplexy. Regulární, Gorensteinovy a Cohen-Macaulayovy okruhy, homologická charakterizace regularity.
2D. Kombinatorika
Předměty potřebné k pokrytí požadované látky
NMAG403 Kombinatorika
NDMI009 Základy kombinatorické a výpočetní geometrie
NDMI013 Kombinatorická a výpočetní geometrie 2
NDMI028 Aplikace lineární algebry v kombinatorice
NDMI073 Kombinatorika a grafy 3
NTIN022 Pravděpodobnostní techniky
NMIN331 Základy kombinatoriky a teorie grafů
NDMI045 Analytická a kombinatorická teorie čísel
NMAG430 Algebraická teorie čísel
Vysvětlení požadavků - student si zvolí dvě z následujících témat:
Teorie grafů: Rovinné grafy a grafy vnořitelné na plochy vyšších rodů, barevnost grafů a její varianty, např. tzv. vybíravost, hranová barevnost (Vizingova věta), k-souvislost grafů a Mengerova věta, algoritmy pro párovaní v bipartitních a obecných grafech (algoritmy založené na tocích, "blossom" algoritmus), perfektní párovaní v bipartitních a obecných grafech (Hallova a Tutteova věta), stromová šířka a její souvislost se složitostí (např. Courcelleova věta). Szemerédiho lemma o regularitě, algebraické vlastnosti a spektrální teorie grafů (počet sledů, vlastní čísla grafů, proplétání).
Užití pravděpodobnostních technik v kombinatorice a teorii grafů: Pravděpodobnostní metoda, linearita střední hodnoty (včetně Markovovy nerovnosti), použití rozptylu (včetně Čebyševovy nerovnosti), metoda modifikace, Lovászovo lokální lemma, odhady Černovova typu, prahové funkce, Markovovy řetězce.
Kombinatorická a výpočetní geometrie: Základní věty o konvexních množinách (Hellyho, Radonova, Carathéodoryho, o oddělování) a jejich rozšíření (zlomková Hellyho věta, barevná Carathéodoryho věta, Tverbergova věta), incidence bodů a přímek, geometrická dualita, konvexní mnohostěny (základní vlastnosti, kombinatorická složitost), Voroného diagramy, konvexně nezávislé množiny, půlící přímky, složitost dolní obálky úseček.
Pravidelné kombinatorické struktury: Steinerovy systémy trojic, Hadamardovy matice, bloková schémata, Bruck-Ryser-Chowlova věta, konečné projektivní roviny a geometrie, základy Ramseyovy teorie, Hales-Jewettova věta.
Teorie čísel: Diofantické aproximace (Dirichletova věta, Fareyovy zlomky, transcendentní čísla). Diofantické rovnice (Pellova rovnice, Thueho rovnice, věta o 4 čtvercích, 10. Hilbertův problém). Prvočísla (odhady prvočíselné funkce, Dirichletova věta). Číselná tělesa (norma, diskriminant, celistvé prvky, rozklady prvočísel). Geometrie čísel (mřížky, Minkowského věta, jednotky a třídová grupa).
