Požadavky ke státnicím z Matematických struktur (do 2019/2020)
Vysvětlení požadavků k magisterským státnicím z Matematických struktur pro studenty, kteří zahájili studium v roce 2019/2020 nebo dříve.
1. Matematické struktury
(Společný tématický okruh)
Předměty potřebné k pokrytí požadované látky
NMAG401 Algebraická geometrie
NMAG403 Kombinatorika
NMAG405 Universální algebra 1
NMAG407 Teorie modelů
NMAG409 Algebraická topologie 1
NMAG411 Riemannova geometrie 1
Vysvětlení požadavků - student si zvolí 5 z následujících témat:
Algebraicko-geometrická korespondence: Základní pojmy, Zariského topologie, ireducibilní komponenty algebraických množin, souřadnicové okruhy a polynomiální zobrazení, Hilbertova věta o nulách a důsledky.
Lokalizace a lokální vlastnosti algebraických množin: Lokální okruhy algebraické množiny v bodech, Krullova dimenze, násobnost bodu na křivce, diskrétní valuace.
Svazy: Distributivní a modulární svazy, charakterizace pomocí zakázaných podsvazů. Úplné a algebraické svazy, uzávěrové operátory, Galoisovy korespondence.
Univerzální algebra: Podalgebry, produkty, kvocienty, homomorfismy a věty o izomorfismech. Direktní a subdirektní rozklady. Volné algebry, Birkhoffova věta o vztahu variet a rovnicových teorií.
Věta o kompaktnosti logiky prvního řádu a příklady jejího použití: Důkaz Lowenheim-Skolemovy věty směrem nahoru, konstrukce nestandardních modelů teorie reálně uzavřeného tělesa a teorie okruhu celých čísel, důkaz Ax-Grothendieckovy věty o injektivních polynomiálních zobrazeních na tělese komplexních čísel.
Eliminace kvantifikátorů: Příklady; důkazy eliminace kvantifikátorů pro teorii hustého lineárního uspořádání a pro teorii algebraicky uzavřených těles. Příklad důsledku pro definovatelné množiny; o-minimalita reálně uzavřených těles za předpokladu eliminace kvantifikátorů pro teorii reálně uzavřených těles.
Teorie grafů: Rovinné grafy a grafy na plochách vyšších rodů, barevnost a vybíravost, hranová barevnost (Vizingova věta), algoritmy pro párovaní v bipartitních a obecných grafech, perfektní párovaní v bipartitních a obecných grafech (Hallova a Tutteova veta).
Pravidelné kombinatorické struktury: Steinerovy systémy trojic, Hadamardovy matice, bloková schémata, Bruck-Ryser-Chowlova věta, konečné projektivní roviny a geometrie.
Geometrie: Kovariantní derivace vektorových polí, paralelní přenos vektorů, geodetiky. Riemannovy variety, Levi-Civitova kovariantní derivace a její křivost. Laplace-Beltramiho operátor na Riemannově varietě.
Algebraická topologie: Fundamentální grupa topologického prostoru. Homotopické grupy. (Ko)homologické teorie, základní příklady (simpliciální, singulární, de Rhamova). Kunnethova věta, věta o univerzálních koeficientech.
2. Užší zaměření
Výběr tématického okruhu z variant 2A, 2B, 2C, 2D
2A. Geometrie
Předměty potřebné k pokrytí požadované látky
NMAG433 Riemannovy plochy
NMAG448 Teorie invariantů
NMAG454 Fibrované prostory a kalibrační pole
NMAG532 Algebraická topologie 2
NMAG533 Harmonická analýza 1
NMAG534 Harmonická analýza 2
Vysvětlení požadavků - student si zvolí 2 z následujících témat:
Harmonická analýza a invarianty klasických grup: Konečně dimenzionální reprezentace jednoduchých Lieových grup (klasifikace pomocí nejvyšších vah). Verma moduly a Bott-Borel-Weilova věta. Invarianty klasických grup (Hilbertova věta o bazi pro invarianty, Schur-Weylova dualita, Youngovy diagramy).
Riemannovy plochy: Algebraické funkce, kompaktní Riemannovy plochy, rod plochy, harmonické diferenciální formy. Serreova dualita, Riemann-Rochova věta a Hurwitzova věta. Věta o uniformizaci.
Algebraická topologie: Nakrývající prostory, fibrace a kofibrace. Vlastnost výřezu, Mayerova-Vietorisova posloupnost. Věta o univerzálních koeficientech. (Ko)homologie jako derivované funktory, duality, vlastnosti funktoru daného tenzorovým součinem a funktoru Hom. Součiny v (ko)homologiích, cup a cap součin.
Fíbrované prostory a kovariantní derivace: Hlavní a asociované fíbrované prostory, grupa kalibračních transformací. Hlavní konexe, asociovaná kovariantní derivace a její křivost. Bianchiho identity, Maurer-Cartanova rovnice. Chern-Weilova teorie, charakteristické třídy. Yang-Millsův funkcionál a Yang-Millsova rovnice.
2B. Teorie reprezentací
Předměty potřebné k pokrytí požadované látky
NMAG431 Kombinatorická teorie grup 1
NMAG432 Kombinatorická teorie grup 2
NMAG434 Kategorie modulů a homologická algebra
NMAG436 Křivky a funkční tělesa
NMAG438 Reprezentace grup 1
NMAG442 Teorie reprezentaci konečně dimenzionálních algeber
NMAG531 Aproximace modulů
Vysvětlení požadavků - student si zvolí 2 z následujících témat:
Teorie grup a jejich reprezentací: Reprezentace grup a grupové algebry, Maschkeho věta, charaktery ireducibilních reprezentací. Centrum grupové algebry, konjugační třídy a rozklad regulární reprezentace. Diskrétní Fourierova transformace na konečné grupě. Prezentace grup, Nielsen-Schreierova věta.
Křivky a funkční tělesa: Algebraická funkční tělesa, místa a valuace, Riemann-Rochova věta. Picardova grupa a asociativní zákon na eliptických křivkách.
Homologická algebra: Tenzorový součin, Moritovská ekvivalence, funktory Ext a Tor, vztah funktoru Ext k rozšiřování modulů.
Reprezentace konečně dimenzionálních algeber: Reprezentace grafů (resp. toulců) a algebry cest, rozklady a Krull-Schmidtova věta. Algebry nad algebraicky uzavřeným tělesem (obecné konečně dimenzionální algebry a Moritovské ekvivalence s algebrami cest s relacemi). Reprezentační typ, Auslanderův-Reitenin graf (hlavní myšlenky).
2C. Obecná a kombinatorická algebra
Předměty potřebné k pokrytí požadované látky
NMAG431 Kombinatorická teorie grup 1
NMAG432 Kombinatorická teorie grup 2
NMAG435 Teorie svazů 1
NMAG438 Reprezentace grup 1
NMAG440 Binární systémy
NMAG444 Kombinatorika na slovech
NMAG450 Universální algebra 2
NTIN090 Základy složitosti a vyčíslitelnosti
Vysvětlení požadavků - student si zvolí 2 z následujících témat:
Grupy a binární systémy: Reprezentace grup a grupové algebry, Maschkeho věta, charaktery ireducibilních reprezentací. Prezentace grup. Nielsen-Schreierova věta. Problém slov (hlavní myšlenky). Základní pojmy teorie lup (normální podlupy, nuklea, centrum, nilpotence, ...) a jejich vazby na obecné pojmy univerzální algebry a na teorii grup (multiplikační grupy).
Univerzální algebra a svazy: Algebraické a relační klony, jejich vztah. Maľcevské podmínky (permutabilita kongruencí, Jónssonovy a Taylorovy termy). Abelovskost a afinní reprezentace. Kongruence svazů - projektivita a perspektivita, distributivita kongruencí. Jónssonovo lemma a variety svazů. Problém slov ve volných svazech (Whitmanova podminka).
Kombinatorické a výpočetní aspekty: Turingův stroj, složitostní třídy P a NP (dvě definice). Splnitelnost booleovských formulí, další příklady NP-úplných problémů a redukcí. Automaty, regulární výrazy, konstrukce minimálního automatu, syntaktický monoid. Volné monoidy a podmonoidy, existence a jednoznačnost báze podpologrupy volné pologrupy. Přepisující systémy, Knuth-Bendixův algoritmus.
2D. Kombinatorika
Předměty potřebné k pokrytí požadované látky
NDMI013 Kombinatorická a výpočetní geometrie II
NDMI028 Aplikace lineární algebry v kombinatorice
NDMI045 Analytická a kombinatorická teorie čísel
NDMI073 Kombinatorika a grafy III
NTIN022 Pravděpodobnostní metoda
NTIN090 Základy složitosti a vyčíslitelnosti
Vysvětlení požadavků - student si zvolí 2 z následujících témat:
Strukturální a algoritmická teorie grafů: Szemerediho regularity lemma, stromový zdvih grafů, algoritmy na grafech omezeného zdvihu, spektrální teorie grafů.
Kombinatorická a výpočetní geometrie: Geometrické pravděpodobnostní algoritmy, kombinatorické vlastnosti souboru nadrovin, geometrické vyhledávání, lineární programování v malé dimenzi.
Analytická a kombinatorická teorie čísel: Diofantické aproximace (Dirichletova věta, Fareyovy zlomky, transcendentní čísla). Diofantické rovnice (Pellova rovnice, Thueho rovnice, věta o 4 čtvercích, 10. Hilbertův problém). Prvočísla (odhady prvočíselné funkce, Dirichletova věta). Geometrie čísel (mřížky, Minkowskiho věta). Kongruence (kvadratické zbytky). Číselné rozklady (rozkladové identity, např. pentagonální identita).
Užití pravděpodobnostních technik v kombinatorice a teorii grafů: Základní pravděpodobnostní metoda, linearita střední hodnoty, metoda modifikace, použití variance. Lovászovo lokální lemma. Pseudonáhodnost a explicitní konstrukce. Odhady Černovova typu.
