Deskriptivní geometrie se zaměřením na vzdělávání

3. Deskriptivní geometrie se zaměřením na vzdělávání

Garantující pracoviště: Katedra didaktiky matematiky
Oborový garant: doc. RNDr. Zbyněk Šír, Ph.D. 
Garant za pedagogiku a psychologii: doc. PhDr. Isabella Pavelková, CSc. (KDF)

Doporučený průběh studia

Doporučený průběh studia zahrnuje všechny povinné předměty a některé další povinně volitelné nebo volitelné předměty specifické pro tento obor. Posluchač si jej musí sám doplnit dalšími volitelnými předměty podle vlastního výběru. Dále musí absolvovat předepsané předměty společného základu a předměty z druhého oboru své kombinace. Povinné předměty jsou v tabulkách doporučeného průběhu studia vyznačeny tučně, povinně volitelné běžným písmem a volitelné kurzívou.

1. rok studia

2. rok studia

¹ Tento předmět si studenti zapisují zároveň s předmětem NMUG202 Geometrické plochy.

3. rok studia

Požadavky znalostí ke státní závěrečné zkoušce

Základy konstrukční geometrie

1. Planimetrie a stereometrie.
Polohové a metrické vlastnosti geometrických útvarů v rovině a v prostoru. Tečna ke kružnici, společné tečny dvou kružnic, středový a obvodový úhel, konstrukce pravidelných n-úhelníků, mocnost bodu ke kružnici, chordála, potenční střed, svazek kružnic. Příčky mimoběžek. Tečné roviny těles. Řezy těles, průniky přímek a těles.

2. Osová afinita, perspektivní kolineace.
Perspektivní kolineace v prostoru a v rovině; střed, osa, úběžnice a protiúběžnice kolineace. Využití perspektivní kolineace při konstrukci řezů těles a při konstrukci kuželoseček. Osová afinita v prostoru a v rovině; směr, osa, charakteristika osové afinity. Dělení afinit. Využití osové afinity při konstrukci řezů těles a v úlohách o elipse.

3. Kuželosečky.
Definice a ohniskové vlastnosti kuželoseček, kuželosečky jako řezy kuželových ploch, Quételetovy-Dandelinovy věty. Konstrukce kuželoseček, tečen kuželoseček a středů hyperoskulačních kružnic.

Zobrazovací metody

1. Středové a rovnoběžné promítání.
Dělení promítání, princip a vlastnosti promítání. Volné rovnoběžné promítání.

2. Kótované promítání.
Princip promítání. Zobrazení přímky a roviny, zobrazení dvojice přímek a rovin. Průsečnice dvou rovin, průsečík přímky s rovinou, přímka kolmá k rovině, rovina kolmá k přímce, vzdálenost bodu (přímky) od roviny, odchylky, otáčení roviny. Zobrazení útvarů v obecné rovině. Zobrazení hranatých těles, kulové plochy. Osvětlení.

3. Mongeovo promítání.
Princip promítání. Zobrazení přímky a roviny, zobrazení dvojice přímek a rovin. Průsečnice dvou rovin, průsečík přímky s rovinou, přímka kolmá k rovině, rovina kolmá k přímce, vzdálenost bodu (přímky) od roviny, odchylky, otáčení roviny. Třetí průmětna. Rovina totožnosti a rovina souměrnosti. Zobrazení útvarů v obecné rovině. Zobrazení hranatých těles, kulových, válcových a kuželových ploch (koulí, válců, kuželů), jejich řezy rovinami a průniky s přímkami. Vzájemné průniky hranatých těles. Osvětlení.

4. Kosoúhlé promítání.
Princip promítání. Zobrazení přímky a roviny, zobrazení dvojice přímek a rovin. Průsečnice dvou rovin, průsečík přímky s rovinou, přímka kolmá k rovině, vzdálenost bodu (přímky) od roviny, odchylky, otáčení roviny. Zobrazení útvarů v souřadnicových rovinách a v obecné rovině. Zobrazení hranatých těles, kulových, válcových a kuželových ploch (koulí, válců, kuželů), jejich řezy rovinami a průniky s přímkami. Vzájemné průniky hranatých těles. Osvětlení.

5. Pravoúhlá axonometrie.
Princip promítání. Zobrazení přímky a roviny, zobrazení dvojice přímek a rovin. Průsečnice dvou rovin, průsečík přímky s rovinou, přímka kolmá k rovině, rovina kolmá k přímce, vzdálenost bodu (přímky) od roviny, vzdálenost bodu od počátku souřadnicového systému, odchylky, otáčení roviny. Zobrazení útvarů v souřadnicových rovinách a v obecné rovině. Zobrazení hranatých těles, kulových, válcových a kuželových ploch (koulí, válců, kuželů), jejich řezy rovinami a průniky s přímkami. Vzájemné průniky hranatých těles. Osvětlení.

6. Kosoúhlá axonometrie.
Princip promítání. Zářezová metoda, 1. Sobotkova konstrukce, Pohlkeova věta. Zobrazení jednoduchých těles.

7. Rotační plochy, plochy druhého stupně.
Vlastnosti obecných rotačních ploch (osa plochy, rovnoběžkové kružnice, meridián, tečná rovina plochy, normála plochy, eliptické, parabolické a hyperbolické body na ploše) a jejich zobrazení v rovnoběžných promítáních. Speciálně pak anuloid – parametrické vyjádření, řez anuloidu rovinou rovnoběžnou s osou, řez bitangenciální rovinou.
Vlastnosti a zobrazení rotačních ploch druhého stupně. Obrazy rotačních kvadrik v prostorové afinitě a kolineaci. Užití ploch 2. stupně v praxi. Obrysy, řezy rovinami, průniky ploch a jejich osvětlení v rovnoběžných promítáních.

8. Středové promítání.
Princip promítání (střed promítání, průmětna, hlavní bod, distance, zobrazení bodu, středový a pravoúhlý průmět bodu). Zobrazení přímky, stopník a úběžník přímky, dělicí bod, skutečná velikost úsečky. Zobrazení roviny, stopa a úběžnice roviny, hlavní a spádová přímka roviny, úběžník spádových přímek, normála k rovině, úběžník normál, rovina kolmá k přímce. Průsečnice dvou rovin, průsečík přímky s rovinou, otáčení roviny. Středový průmět kružnice (přesná konstrukce, osmibodová konstrukce). Středové průměty jednoduchých těles, jejich řezy rovinami. Rovnoběžné osvětlení ve středovém promítání (stín vlastní, vržený, do dutiny).

Projektivní geometrie

1. Projektivní geometrie syntetická.
Projektivní rozšíření roviny, projektivnost, zejména involuce. Princip duality. Projektivní vytvoření kuželosečky, polární vlastnosti. Věta Pascalova a Brianchonova. Svazek a řada kuželoseček, Desarguesova involuce. Ohniskové vlastnosti kuželoseček, konstrukce kuželoseček.

2. Projektivní geometrie analytická.
Definice projektivního prostoru, homogenní souřadnice, projektivní rozšíření afinního prostoru. Kolineace a jejich reálné Jordanovy tvary, věta o dimenzi, polární vlastnosti kvadrik, maximální lineární podprostory na kvadrice, vrchol, obecná projektivní a afinní klasifikace kvadrik s aplikací pro n = 2, 3. Dotyková kuželová plocha.

Aplikace deskriptivní geometrie

1. Aplikace deskriptivní geometrie.
Významné plochy technické praxe – rozvinutelné přímkové plochy, zborcené přímkové plochy (stupně 2, 3 a 4, zejména hyperbolický paraboloid, zborcený hyperboloid, konoidy), rotační plochy (přímkové, cyklické, rotační plochy stupně 2), šroubové plochy (šroubovice, přímkové a cyklické šroubové plochy), translační, klínové, součtové a obalové plochy, jejich vlastnosti a zobrazování, konstrukce tečné roviny. 
Lineární perspektiva – princip zobrazení, průsečná metoda, volné metody, osvětlení, zrcadlení ve svislé a vodorovné rovině. Perspektivní reliéf – konstrukce reliéfu bodů, přímek, rovin, prostorových útvarů, afinní reliéf jako speciální případ perspektivního reliéfu, konstruktivní fotogrammetrie – rekonstrukce svislého a šikmého snímku. 
Aplikace deskriptivní geometrie v technických oborech (stavebnictví, architektura apod.) a umění. Teoretické řešení střech. Topografické plochy.

2. Počítačová geometrie.
Algoritmy počítačové geometrie. Transformace v rovině a v prostoru. Analytická vyjádření zobrazovacích metod. Geometrické modelování (zobrazování těles, určování viditelnosti). Geometrické vyhledávání, operace s konvexními množinami, teorie grafů, triangulace. Křivky a plochy počítačové grafiky - interpolace a aproximace.