Učitelství matematiky

2. Učitelství matematiky

Garantující pracoviště: Katedra didaktiky matematiky
Oborový garant: doc. RNDr. Jarmila Robová, CSc. (KDM)
Garant za pedagogiku a psychologii: doc. PhDr. Isabella Pavelková, CSc. (KDF)

Doporučený průběh studia

1. rok studia

2. rok studia

Další doporučené volitelné předměty

Některé volitelné předměty nemusí být v tomto akademickém roce vyučovány.

¹ Volitelný předmět je jednosemestrální, je možno jej absolvovat v zimním nebo v letním semestru.

² Volitelný předmět bývá vyučován zpravidla jednou za dva roky.

Požadavky znalostí ke státní závěrečné zkoušce z matematiky a didaktiky matematiky

1. Matematická analýza.
Základy teorie míry, Lebesgueova míra, měřitelné funkce. Lebesgueův integrál funkcí dvou a více proměnných, Fubiniova věta, věta o substituci, příklady substitucí (polární souřadnice, sférické, válcové souřadnice). Aplikace vícerozměrných integrálů (objemy, obsahy ploch zadaných parametricky, těžiště). Záměna limity a integrálu (věta Leviho a Lebesgueova). 
Fourierovy řady: ortonormální systém funkcí, Fourierovy koeficienty, Parsevalova rovnost, Besselova nerovnost; bodová a stejnoměrná konvergence. 
Metrické prostory, normované lineární prostory (otevřené a uzavřené množiny, limita a spojitost, úplnost), Banachova věta o pevném bodě a její aplikace.

2. Algebra a lineární algebra.
Lineární formy, duální prostor, duální báze. Bilineární a kvadratické formy a jejich matice, polární báze, normální báze, Sylvestrův zákon o setrvačnosti, signatura. 
Prostor se skalárním součinem, Cauchyova-Schwarzova nerovnost, trojúhelníková nerovnost, Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces, ortogonální projekce, Fourierovy koeficienty, ortogonální zobrazení, ortogonální matice. 
Polynomy, dělitelnost, kořenové vlastnosti, derivace polynomu.
Grupy, okruhy, obory integrity, tělesa: základní výsledky a příklady. Homomorfismy grup. Hlavní výsledky Galoisovy teorie, řešení algebraických rovnic z hlediska teoretické algebry, konstruovatelnost pravítkem a kružítkem.

3. Geometrie.
Projektivní prostor, definice a základní vlastnosti, homogenní souřadnice, projektivní rozšíření afinní roviny. Grupa möbiovských transformací. Základní typy kvadrik a jejich vlastnosti, afinní a eukleidovská klasifikace regulárních a singulárních kuželoseček, afinní klasifikace regulárních kvadrik. 
Neeukleidovská geometrie, modely hyperbolické geometrie, základy axiomatického vybudování geometrie, Kleinův Erlangenský program.

4. Diferenciální geometrie.
Parametrické vyjádření křivky, příklady. Délka křivky, parametrizace obloukem. Frenetův repér a Frenetovy vzorce v rovině a v prostoru, křivost a torze.
Parametrické vyjádření plochy, příklady. Tečná rovina, normála. První a druhá základní forma plochy a jejich užití. Střední a Gaussova křivost. Zobrazení mezi plochami (izometrie, konformní zobrazení).

5. Logika a teorie množin.
Výrokový a predikátový počet. Axiomatická teorie. Konečné množiny; spočetné a nespočetné množiny. Dobré uspořádání. Kardinální a ordinální čísla. Axiom výběru a jeho ekvivalenty. Peanova aritmetika a model přirozených čísel v teorii množin; čísla celá, racionální, reálná. Mohutnosti oborů přirozených, celých, racionálních a reálných čísel.

6. Kombinatorika, pravděpodobnost a matematická statistika.
Princip inkluze a exkluze, permutace bez pevných bodů. Řešení rekurentních rovnic, generující funkce. Fibonacciho čísla. Pravděpodobnostní prostor, různé definice pravděpodobnosti. Podmíněná pravděpodobnost a nezávislost náhodných jevů. Náhodné veličiny – základní charakteristiky, nezávislost. Diskrétní a spojitá rozdělení náhodných veličin. Náhodné vektory. Zákon velkých čísel, centrální limitní věta. Popisná statistika. Korelace, regresní přímka. Odhady parametrů a testy hypotéz. Lineární model a jeho speciální případy, lineární regrese.

7. Didaktika matematiky.
Argumentace a ověřování ve školské matematice (induktivní a deduktivní metody, výroky, důkazy a jejich typy). Vytváření představ, pojmů a jejich vlastností, klasifikace pojmů (číslo, číselné obory, funkce a posloupnosti, geometrická zobrazení). Rozvíjení geometrické představivosti v rovině a v prostoru (vzájemné polohy a vlastnosti geometrických útvarů, konstrukční úlohy). Metody řešení úloh v algebře (rovnice, nerovnice a jejich soustavy) a analytické geometrii (rovnice přímek a rovin, vzdálenosti a odchylky). Aplikace matematiky v praxi (finanční matematika, kombinatorika, pravděpodobnost a statistika).