Ústní část státní závěrečné zkoušky programu Obecná matematika

Zkouška má přehledový charakter. Žádá se, aby posluchač prokázal pochopení základních pojmů, principů a výsledků, byl schopen je ilustrovat na příkladech a předvedl určitou míru syntézy.

Ústní část státní závěrečné zkoušky se skládá ze tří tématických okruhů, z každého dostane student jednu otázku. Dva okruhy (1. Matematická analýza, 2. Lineární a obecná algebra) jsou povinné, třetí okruh je volitelný a odpovídá zvolenému zaměření. Student si může vybrat třetí okruh z možností:

3A. Stochastika
3B. Matematické struktury
3D. Matematická analýza
3E. Numerická analýza a matematické modelování

Průběh ústní zkoušky

Předem upozorňujeme, že některé detaily průběhu ústní zkoušky se liší komise od komise a závisejí i na zkoušejícím. Tento popis je tedy pouze orientační.

Student dostane tři písemně formulované otázky, jednu z každého zkoušeného okruhu, a má zhruba jednu hodinu na přípravu, tj. kolem 20 minut na otázku. Každou otázku zkoušejí vybraní členové komise (minimálně dva). Student použije písemné zápisky, které si zhotovil při přípravě, a doprovází je ústním výkladem. Zkouška probíhá interaktivně, tj. zkoušející se studentem komunikují, kladou doplňující otázky, upozorňují na chyby, diskutují se studentem, někdy pomohou překlenout obtížnější místa. Tato fáze trvá 15-20 minut na každou otázku.

Podoba otázek a očekávání zkoušejících jsou přizpůsobeny omezenému časovému rámci přípravy i zkoušky. Není čas věnovat se dopodrobna složitějším důkazům nebo probírat každý detail položené otázky. Cílem je k zadané otázce vybrat a uvést ta nejpodstatnější fakta, spolehlivě znát definice základních pojmů a tvrzení nejdůležitějších vět i s předpoklady. Zkoušející může vyžadovat řešení jednoduché úlohy nebo schopnost najít jednoduchý příklad nebo protipříklad. Někdy dojde i na důkaz nějakého důležitého tvrzení, pokud je krátký, někdy zkoušející vyžadují hlavní kroky nějakého složitějšího důkazu bez detailů.

Pojetí kladených otázek se může velice lišit. Některý zkoušející zadá dvě slova („vektorový prostor”), jiný dopodrobna vypíše, co má student dělat, další zadá jednoduchý příklad a bude chtít, aby na něm student ukázal, co ví.

Hodnocení ústní zkoušky

Ústní zkoušku hodnotí celá komise jednou známkou. Obvykle zkoušející navrhnou studentovi známku za každý ze tří zkoušených okruhů, poté se komise dohodne na jednotném hodnocení za celou ústní zkoušku. Pokud je student v kterémkoli okruhu hodnocen známkou „neprospěl”, hodnotí se tak i celá zkouška bez ohledu na výsledky ostatních dvou okruhů. Studentovi se sděluje pouze celková známka za ústní část, nikoli známky z jednotlivých okruhů.

Příprava na ústní zkoušku

Přípravu je třeba přizpůsobit pojetí zkoušky; není vhodné učit se příslušné předměty stejně, jako když jde o zkoušku z jednotlivého předmětu. Je třeba rozlišit velmi důležité věci od méně důležitých a věnovat se jim důkladněji, ale nezahlcovat se v detailech. Je důležité nemít velké mezery a být schopen o jakémkoli státnicovém tématu říci alespoň něco. Je dobré mít také na paměti, že na konci studia už student o řadě věcí ví víc, než v okamžiku, kdy se o nich poprvé dozvěděl - viděl, jak a kde se používají, s čím souvisejí, jak se dají dále zobecnit atd. Měl by být schopen vidět je v trochu širším kontextu. Zabýváte-li se látkou z počátku studia, vzpomeňte si, jak a kde jste se s ní později setkali.

Velmi důležitá je písemná příprava odpovědí na zadané otázky. Je třeba si rozvrhnout čas, abyste si mohli připravit alespoň něco ze všech tří otázek. Pokud jdete k ústní zkoušce s prázdným papírem, těžko se vám budou dávat správně dohromady i ty nejzákladnější věci, které dobře znáte.

Podrobnější rozpis požadavků k ústní části státní závěrečné zkoušky

Požadavky jsou uvedeny v Oranžové Karolince na této stránce zcela dole . Zde je trochu podrobněji rozepíšeme. U každé oblasti v hranaté závorce uvádíme, v jakém předmětu se látka vyučuje.

1. Základy matematické analýzy

1. Posloupnosti a řady čísel a funkcí [Matematická analýza 1, 2, 4]
Konvergence posloupností a číselných řad. Stejnoměrná konvergence posloupností a řad funkcí. Kritéria konvergence a stejnoměrné konvergence posloupností a řad. Mocninné řady.

2. Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné [Matematická analýza 1, 2]
Spojitost a derivace funkcí jedné reálné proměnné. Věty o spojitých funkcích na intervalu. Věty o střední hodnotě a jejich důsledky, vztah monotonie a znaménka derivace. Konvexita. Taylorův polynom a zbytek, Taylorovy řady.

3. Integrální počet funkcí jedné reálné proměnné [Matematická analýza 2]
Primitivní funkce, Newtonův integrál, Riemannův integrál. Základní vlastnosti, vzájemné vztahy. Metody výpočtu. Základní kritéria existence určitých integrálů a primitivní funkce.

4. Diferenciální počet funkcí více proměnných [Matematická analýza 3]
Derivace a parciální derivace, jejich vzájemná souvislost. Věta o derivaci složeného zobrazení. Věta o implicitních funkcích. Volné a vázané extrémy funkcí více proměnných. Nutné a postačující podmínky pro volné extrémy. Nutné podmínky pro vázané extrémy.

5. Obyčejné diferenciální rovnice [Matematická analýza 2]
Věta o existenci a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy (bez důkazu). Jednoduché rovnice prvního řádu. Lineární rovnice vyššího řádu s konstantními koeficienty.

2. Lineární a obecná algebra

1. Matice a determinanty, soustavy lineárních rovnic [Lineární algebra 1,2]
Základní maticové operace, hodnost matice, regulární matice. Soustavy
lineárních rovnic, podmínky řešitelnosti, Gaussova eliminace, výpočet inverzní matice. Determinanty a metody jejich výpočtu, Cramerovo pravidlo.

2. Vektorové prostory a skalární součiny [Lineární algebra 1,2]
Pojem vektorového prostoru, lineární nezávislost, lineární obal, báze a dimenze. Steinitzova věta o výměně. Podprostory a jejich dimenze. Skalární součin, ortogonalizační proces, QR rozklad matice, ortogonální matice. Ortogonální projekce a metoda nejmenších čtverců.

3. Lineární zobrazení a bilineární formy [Lineární algebra 1,2]
Lineární zobrazení a jejich matice, matice základních geometrických zobrazení. Věta o dimenzi jádra a obrazu. Vlastní čísla lineárních zobrazení a matic, algebraická a geometrická násobnost, charakterizace diagonalizovatelných matic. Charakterizace ortogonálně diagonalizovatelných reálných matic. Bilineární a kvadratické formy a jejich matice, polární báze a zákon setrvačnosti pro kvadratické formy.

4. Základy teorie grup a komutativní algebry [Algebra]
Pojem grupy, příklady, Lagrangeova věta, struktura cyklických grup, působení grupy na množině. Dělitelnost v eukleidovských oborech: rozšířený Eukleidův algoritmus, existence a jednoznačnost ireducibilních rozkladů. Algebraická rozšíření těles, minimální polynom a stupeň rozšíření, stupeň násobného rozšíření.

3A. Stochastika

1. Teorie pravděpodobnosti [Pravděpodobnost a matematická statistika, Teorie pravděpodobnosti 1]
Pravděpodobnostní prostor, podmíněná pravděpodobnost, Bayesova věta, nezávislost systému náhodných jevů, 0-1 zákony. Náhodná veličina, náhodný vektor a jejich rozdělení, charakteristiky (střední hodnota, rozptyl, varianční matice, korelace atd.). Charakteristická funkce a její použití, nezávislost náhodných veličin a vektorů, základní jedno- i mnohorozměrná diskrétní a spojitá rozdělení. Transformace náhodné veličiny a náhodného vektoru. Podmíněné rozdělení a podmíněná střední hodnota. Typy konvergence náhodných veličin a vztahy mezi nimi, Čebyševova nerovnost, slabý a silný zákon velkých čísel, centrální limitní věta pro součet nezávislých stejně rozdělených náhodných veličin. Cramérova-Sluckého věta.

2. Matematická statistika [Matematická statistika 1, 2]
Náhodný výběr, uspořádaný náhodný výběr. Bodové a intervalové odhady, nestrannost a konsistence odhadů. Empirická distribuční funkce. Principy testování hypotéz, Neymanovo-Pearsonovo lemma. Fisherova informace, Rao-Cramérova věta, odhady metodou maximální věrohodnosti, asymptotické testy založené na maximální věrohodnosti. Jednovýběrový, dvouvýběrový, párový t-test. Jednovýběrové a dvouvýběrové testy pro vybrané parametrické problémy, test dobré shody na multinomické rozdělení, testy nezávislosti v dvourozměrných kontingenčních tabulkách.

Ještě podrobnější rozpis požadavků z této části je možné nalézt zde.

3B. Matematické struktury

1. Základy teorie funkcí komplexní proměnné [Úvod do komplexní analýzy]
Komplexní funkce: derivace, Cauchyovy Riemannovy podmínky, holomorfní funkce, izolované singularity, Laurentovy rozvoje. Cauchyova věta (idea důkazu), Cauchyův vzorec a jejich důsledky (princip maxima modulu, základní věta algebry apod.). Reziduová věta.

2. Komutativní algebra [Algebra, Úvod do komutativní algebry]
Faktorokruhy, věty o izomorfismu, čínská věta o zbytcích pro obecné okruhy. Polynomiální okruhy: základní vlastnosti z hlediska dělitelnosti, Hilbertova věta o bázi, základní principy algebraické geometrie, Hilbertova věta o nulách. Kořenová a rozkladová nadtělesa (existence a jednoznačnost), klasifikace konečných těles. Galoisova teorie: Galoisova grupa tělesových rozšíření a její vlastnosti, Galoisova rozšíření a Galoisova korespondence.

3. Geometrie [Geometrie 1, Geometrie 2, Úvod do analýzy na varietách]
Křivky v ℝ3: Frenetovy vzorce, křivost a torze. První a druhá fundamentální forma regulární plochy v ℝ3, izometrická zobrazení mezi plochami, hlavní směry a křivosti, Gaussova a střední křivost. Varieta, tečný prostor, diferenciální formy, vnější diferenciál, Stokesova věta a její speciální případy (bez důkazu). Riemannova metrika, integrace funkcí na plochách a na Riemannově varietě.

3C. Matematická analýza

1. Základy teorie Lebesgueova integrálu [Teorie míry a integrálu 1, 2]
Definice a základní vlastnosti, věty o limitních přechodech (Léviho a Lebesgueova věta). Fubiniova věta.  Věta o substituci a její souvislost s obrazem míry.

2. Banachovy a Hilbertovy prostory [Úvod do funkcionální analýzy]
Norma a skalární součin, spojitá lineární zobrazení. Rozšiřování spojitých funkcionálů. Duální prostory, charakterizace duálů klasických prostorů.

3. Abstraktní Fourierovy řady [Úvod do funkcionální analýzy]
Ortonormální systémy a ortonormální báze, Besselova nerovnost a Parsevalova rovnost, Fourierovy řady v Hilbertově prostoru, nejbližší body v Hilbertově prostoru.

4. Klasické Fourierovy řady [Matematická analýza 4]
Definice, Riemannovo Lebesgueovo lemma, Jordanovo Dirichletovo kritérium, Fejérova věta.

5. Základy teorie funkcí komplexní proměnné [Úvod do komplexní analýzy]
Derivace podle komplexní proměnné, Cauchyovy Riemannovy podmínky, Cauchyova věta a Cauchyův vzorec a jejich důsledky (rozvoj v mocninnou řadu, věta o jednoznačnosti), reziduová věta.

3D. Numerická analýza a matematické modelování

1. Základní numerické metody [Základy numerické matematiky, Analýza maticových výpočtů 1]
Interpolační polynomy, numerická integrace, numerické řešení nelineárních algebraických rovnic a jejich soustav, numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic, LU, Choleského, QR a singulární rozklad, Schurova věta, problém nejmenších čtverců, Arnoldiho a Lanczosova metoda, stacionární iterační metody, krylovovské metody, aproximace maticových funkcí.

2. Parciální diferenciální rovnice [Úvod do parciálních diferenciálních rovnic, Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic]
Formulace Cauchyho (počáteční) úlohy pro transportní, tepelnou a vlnovou rovnici. Formulace okrajových úloh pro Laplaceovu rovnici. Formulace počáteční a okrajové úlohy pro tepelnou a vlnovou rovnici. Definice klasického řešení. Princip maxima pro Laplaceovu rovnici. Metoda konečných diferencí pro transportní, tepelnou a Laplaceovu rovnici. Von Neumannova analýza stability, konvergence.

3. Matematické modelování ve fyzice kontinua [Úvod do matematického modelování]
Fyzikální zákony zachování hmoty, hybnosti a energie a jejich formulace ve tvaru parciálních diferenciálních rovnic, věta o transportu, termodynamické vztahy, Navierovy-Stokesovy rovnice, základní pojmy teorie pružnosti, okrajové úlohy teorie pružnosti, modely proudění (Eulerovy rovnice, rovnice mělké vody, proudění v porézních materiálech).