2.8 Matematika pro informační technologie
2.8 Matematika pro informační technologie
Garantující pracoviště: Katedra algebry
Oborový garant: prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc., DSc.
Obor Matematika pro informační technologie má jeden studijní plán. Tento studijní plán je shodný se studijním plánem NN dobíhajícího oboru Matematické metody informační bezpečnosti.
Zaměření oboru Matematika pro informační technologie
Obor Matematika pro informační technologie umožňuje specializaci na jedno ze dvou zaměření.
- 1. Zaměření Matematika pro informační bezpečnost (IB) poskytuje hlubší znalosti teorie čísel, teorie samoopravných kódů, teorie eliptických křivek, a dále počítačové algebry aplikované na některé z těchto teorií. Pozornost je věnována ale i praktickým aspektům jako jsou kryptoanalytické útoky, zabezpečení toku internetových dat, kryptografické standardy a právní ochrana dat.
- 2. Zaměření Počítačová geometrie (PG) umožňuje získat hlubší znalosti v algebraických a geometrických oborech spolu s jejich použitím v geometrii počítačového vidění a robotiky, počítačové grafice a zpracování obrazu, optimalizačních metodách a numerické lineární algebře.
Volba zaměření
Volba zaměření zahrnuje tři postupně kroky:
- – Výběr tématu diplomové práce na počátku prvního ročníku.
- – Výběr povinně volitelných předmětů během studia.
- – Výběr dvou volitelných okruhů ústní části státní závěrečné zkoušky, při přihlášení ke státní závěrečné zkoušce.
Vstupní požadavky
Předpokládáme, že student tohoto oboru má na počátku prvního ročníku dostatečné znalosti z následujících oborů a oblastí:
- –Kvalitní základy lineární algebry, reálné analýzy a teorie pravděpodobnosti.
- –Základy komutativní a počítačové algebry (Galoisova teorie, celistvá rozšíření, diskrétní Fourierova transformace). Modulární aritmetika, multiplikativní grupy. Konečná tělesa, základní třídy samoopravných kódů. Grupová operace na eliptických křivkách.
- –Základy teoretické kryptografie a geometrického modelování. Programování v jazyce C.
- –Pasivní znalost angličtiny umožňující dostatečné porozumění matematickým přenáškám a odborným textům.
Studentům, kteří tyto požadavky nesplňují, může garant studijního programu stanovit způsob jejich doplnění, například absolvováním vybraných předmětů bakalářského studia v rámci individuálního studijního plánu.
Doporučený průběh studia
Podrobnější informace k doporučenému průběhu studia lze najít na stránkách http://garant.karlin.mff.cuni.cz/stud/nmgr_ob_mmit.shtml.
1. rok studia
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NMMB405 | Složitost pro kryptografii | 6 | 4/0 Zk | — | |
| NMMB409 | Konvexní optimalizace | 9 | 4/2 Z+Zk | — | |
| NMMB403 | Počítačová algebra 2 | 6 | 3/1 Z+Zk | — | |
| NMMB407 | Pravděpodobnost a kryptografie | 6 | 4/0 Zk | — | |
| NSZZ023 | Diplomová práce I | 6 | — | 0/4 Z | |
| Volitelné a povinně volitelné předměty | 27 | ||||
2. rok studia
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NSZZ024 | Diplomová práce II | 9 | 0/6 Z | — | |
| NSZZ025 | Diplomová práce III | 15 | — | 0/10 Z | |
| Volitelné a povinně volitelné předměty | 36 | ||||
Zaměření oboru se rozlišují podle doporučených povinně volitelných předmětů.
Povinně volitelné předměty pro zaměření Matematika pro informační bezpečnost
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NMMB333 | Základy analýzy dat | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMMB331 | Booleovské funkce | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NTIN104 | Foundations of theoretical cryptography | 5 | — | 2/1 Z+Zk | |
| NMMB401 | Automaty a konvoluční kódy | 6 | 3/1 Z+Zk | — | |
| NMMB402 | Číselné algoritmy | 6 | — | 3/1 Z+Zk | |
| NMMB404 | Kryptoanalytické útoky | 6 | — | 3/1 Z+Zk | |
| NMMB501 | Zabezpečení síťových protokolů | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMAG436 | Křivky a funkční tělesa | 6 | — | 4/0 Zk | |
| NMMB431 | Autentifikační schémata | * | 3 | — | 2/0 Zk |
| NMMB436 | Steganografie a digitální média | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMMB437 | Právní aspekty ochrany dat | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMMB531 | Číselné síto | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMMB532 | Standardy a kryptografie | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMMB533 | Matematický software | * | 3 | 1/1 Z+Zk | — |
| NMMB534 | Kvantová informace | 6 | — | 3/1 Z+Zk | |
| NMMB538 | Eliptické křivky a kryptografie | 6 | — | 3/1 Z+Zk | |
*) Tyto předměty nebudou od akademického roku 2018/19 vyučovány.
Povinně volitelné předměty pro zaměření Počítačová geometrie
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NMMB333 | Základy analýzy dat | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMAG401 | Algebraická geometrie | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMMB440 | Geometrie počítačového vidění | 6 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NMMB442 | Geometrické problémy v robotice | 6 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NMAG563 | Úvod do složitosti CSP | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMMB536 | Optimalizace a aproximace CSP | 6 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NMNV531 | Inverzní úlohy a regularizace | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMNV407 | Maticové iterační metody 1 | 6 | 4/0 Zk | — | |
| NMNV438 | Maticové iterační metody 2 | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NMNV534 | Numerické metody optimalizace | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NMMB535 | Komprimované snímání | 6 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NPGR013 | Speciální funkce a transformace ve zpracování obrazu | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NPGR010 | Počítačová grafika III | 6 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMMB433 | Geometrie pro počítačovou grafiku | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NPGR029 | Variační metody ve zpracování obrazu | 3 | — | 2/0 Zk | |
Shrnutí studijního plánu
Povinné předměty
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NMMB403 | Počítačová algebra 2 | 6 | 3/1 Z+Zk | — | |
| NMMB405 | Složitost pro kryptografii | 6 | 4/0 Zk | — | |
| NMMB407 | Pravděpodobnost a kryptografie | 6 | 4/0 Zk | — | |
| NMMB409 | Konvexní optimalizace | 9 | 4/2 Z+Zk | — | |
| NSZZ023 | Diplomová práce I | 6 | — | 0/4 Z | |
| NSZZ024 | Diplomová práce II | 9 | 0/6 Z | — | |
| NSZZ025 | Diplomová práce III | 15 | — | 0/10 Z | |
Povinně volitelné předměty
Z těchto předmětů je potřeba získat alespoň 45 kreditů. Předměty doporučené pro zaměření Matematika pro informační bezpečnost jsou označené (IB). Předměty doporučené pro zaměření Počítačová geometrie jsou označené (PG).
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NMMB401 | Automaty a konvoluční kódy | (IB) | 6 | 3/1 Z+Zk | — |
| NMMB333 | Základy analýzy dat | (IB, PG) | 5 | 2/2 Z+Zk | — |
| NMMB331 | Booleovské funkce | (IB) | 3 | 2/0 Zk | — |
| NTIN104 | Foundations of theoretical cryptography | (IB) | 5 | — | 2/1 Z+Zk |
| NMMB402 | Číselné algoritmy | (IB) | 6 | — | 3/1 Z+Zk |
| NMMB404 | Kryptoanalytické útoky | (IB) | 6 | — | 3/1 Z+Zk |
| NMMB501 | Zabezpečení síťových protokolů | (IB) | 5 | 2/2 Z+Zk | — |
| NMAG436 | Křivky a funkční tělesa | (IB) | 6 | — | 4/0 Zk |
| NMMB431 | Autentifikační schémata | *, (IB) | 3 | — | 2/0 Zk |
| NMMB436 | Steganografie a digitální média | (IB) | 3 | 2/0 Zk | — |
| NMMB437 | Právní aspekty ochrany dat | (IB) | 3 | 2/0 Zk | — |
| NMMB531 | Číselné síto | (IB) | 3 | 2/0 Zk | — |
| NMMB532 | Standardy a kryptografie | (IB) | 3 | — | 2/0 Zk |
| NMMB533 | Matematický software | *, (IB) | 3 | 1/1 Z+Zk | — |
| NMMB534 | Kvantová informace | (IB) | 6 | — | 3/1 Z+Zk |
| NMMB538 | Eliptické křivky a kryptografie | (IB) | 6 | — | 3/1 Z+Zk |
| NMAG401 | Algebraická geometrie | (PG) | 5 | 2/2 Z+Zk | — |
| NMMB440 | Geometrie počítačového vidění | (PG) | 6 | — | 2/2 Z+Zk |
| NMMB442 | Geometrické problémy v robotice | (PG) | 6 | — | 2/2 Z+Zk |
| NMAG563 | Úvod do složitosti CSP | (PG) | 3 | 2/0 Zk | — |
| NMMB536 | Optimalizace a aproximace CSP | (PG) | 6 | — | 2/2 Z+Zk |
| NMNV531 | Inverzní úlohy a regularizace | (PG) | 5 | 2/2 Z+Zk | — |
| NMNV407 | Maticové iterační metody 1 | (PG) | 6 | 4/0 Zk | — |
| NMNV438 | Maticové iterační metody 2 | (PG) | 5 | — | 2/2 Z+Zk |
| NMNV534 | Numerické metody optimalizace | (PG) | 5 | — | 2/2 Z+Zk |
| NMMB535 | Komprimované snímání | (PG) | 6 | 2/2 Z+Zk | — |
| NPGR013 | Speciální funkce a transformace ve zpracování obrazu | (PG) | 3 | — | 2/0 Zk |
| NPGR010 | Počítačová grafika III | (PG) | 6 | 2/2 Z+Zk | — |
| NMMB433 | Geometrie pro počítačovou grafiku | (PG) | 3 | — | 2/0 Zk |
| NPGR029 | Variační metody ve zpracování obrazu | (PG) | 3 | — | 2/0 Zk |
*) Tyto předměty nebudou od akademického roku 2018/19 vyučovány.
Doporučené volitelné předměty
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NMMB451 | Aplikace matematiky v informatice | 3 | 0/2 Z | 0/2 Z | |
| NMMB452 | Seminář z matematiky inspirované kryptografií | 3 | 0/2 Z | 0/2 Z | |
| NMMB453 | Studentský logický seminář | 2 | 0/2 Z | 0/2 Z | |
| NMMB551 | Seminář z kombinatorické, algoritmické a finitní algebry | 2 | 0/2 Z | 0/2 Z | |
| NPGR022 | Speciální seminář ze zpracování obrazu | 2 | 0/2 Z | 0/2 Z | |
| NMAG337 | Úvod do teorie grup | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NSWI090 | Počítačové sítě | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NSWI021 | Počítačové sítě II | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NSWI045 | Rodina protokolů TCP/IP | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NPGR003 | Základy počítačové grafiky | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NPGR004 | Počítačová grafika II | 5 | — | 2/1 Z+Zk | |
Státní závěrečná zkouška
Podmínky pro přihlášení ke státní závěrečné zkoušce
- – Získání alespoň 120 kreditů.
- – Splnění všech povinných předmětů studijního plánu.
- – Splnění povinně volitelných předmětů v rozsahu alespoň 45 kreditů.
- – Odevzdání vypracované diplomové práce ve stanoveném termínu.
Ústní část státní závěrečné zkoušky
Ústní část státní závěrečné zkoušky studijního oboru Matematické metody informační bezpečnosti se skládá z dvou tematických okruhů. Z tematického okruhu 1 dostane student jednu otázku. Z tematického okruhu 2 si student zvolí buď dvě z variant 2A, 2B, 2C pro zaměření Matematika pro informační bezpečnost, nebo dvě z variant 2D, 2E, 2F, 2G pro zaměření Počítačová geometrie. Z každé zvolené varianty dostane jednu otázku.
Podrobnější vysvětlení požadavků k ústní části státní závěrečné zkoušky lze najít na stránkách http://garant.karlin.mff.cuni.cz/stud/nmgr_ob_mmit_szz.shtml.
Požadavky k ústní části státní závěrečné zkoušky
Společný základ
1.Základní matematické obory.
Složitostní třídy a výpočetní modely, náhodnost a pseudonáhodnost, algoritmy pro práci s algebraickými strukturami, konvexní optimalizace.
Užší zaměření
2A Informace a kódy
Klasická a kvantová informace a její přenos. Důsledky kvantové Fourierovy transformace pro kryptografii. Konvoluční kódy. Práce se skrytou a poškozenou informací.
2B Číselné algoritmy
Faktorizace: metody Pollard rho a Pollard p-1, algoritmus CFRAC (včetně aproximace odmocniny pomocí řetězových zlomků a řešení Pellovy rovnice), a kvadratické síto (včetně Tonelli-Shanksova algoritmu). Základní metody řešení diskrétního logaritmu: Pohlig-Hellman, Baby steps-giant steps a indexový kalkul.
2C Eliptické křivky
Základní vlastnosti algebraických funkčních těles a jejich grupy divisorů. Weierstrassova normální forma eliptické křivky - ekvivalence a odvození. Picardova grupa a sčítání bodů eliptické křivky. Morfismy, endomorfismy a izogenie. Využití v kryptografii.
2D Počítačové vidění a robotika
Matematický model perspektivní kamery. Výpočet pohybu kalibrované kamery z obrazů neznámé scény. 3D rekonstrukce ze dvou obrazů neznámé scény. Geometrie tří kalibrovaných kamer. Denavit-Hartenbergův popis kinematiky manipulátoru. Inverzní kinematická úloha pro šestistupňový sériový manipulátor – formulace a řešení. Kalibrace parametrů manipulátoru – formulace a řešení.
2E Zpracování obrazu a počítačová grafika
Modelování inverzních problémů, regularizační metody, digitalizace obrazu, zaostřování a odšumování obrazu, detekce hran, obrazová registrace, komprese, syntéza obrazu, metody compressed sensing, analytická, kinematická a diferenciální geometrie.
2F Aproximace a optimalizace
Konvexní optimalizační problémy, dualita, Lagrangeova duální funkce. Algoritmy pro řešení úloh konvexní optimalizace, metoda vnitřního bodu. Problém splnitelnosti omezení (CSP), algebraický přístup k řešení dichotomické hypotézy. Vážený problém splnitelnosti omezení (vCSP). Příklady výpočetních problémů, které lze popsat v jazyku vCSP, algebraická teorie. Řešení problémů s extrémně velkým vstupem.
2G Numerická lineární algebra
LU a Choleského rozklad matice, metody nejmenších čtverců, Krylovovské prostory, maticové iterační metody (Arnoldiho, Lanczosova metoda, metoda sdružených gradientů, zobecněná metoda minimálních reziduí), QR algoritmus, regularizační metody pro řešení lineárních inverzních problémů, numerická stabilita.
