Tato stránka vychází z podkladů pro tištěné studijní plány (tzv. Karolinku).
Matematické struktury
Garantující pracoviště: Katedra algebry
Oborový garant: doc. RNDr. Jan Šťovíček, Ph.D.
Obor matematické struktury je na magisterské úrovni zaměřen na rozšíření všeobecného matematického základu (algebraická geometrie a topologie, Riemannova geometrie, universální algebra a teorie modelů) a na získání hlubších znalostí ve zvolených partiích algebry, geometrie, logiky, či kombinatoriky. Cílem je poskytnout na jedné straně dostatečnou všeobecnou znalost moderní strukturní matematiky, na straně druhé dovést posluchače na práh samostatné tvůrčí činnosti. Důraz je kladen na disciplíny, ve kterých jsou k dispozici vyučující, kteří se světové špičce blíží nebo do ní přímo patří.
Absolvent má velmi pokročilé znalosti algebry, geometrie, kombinatoriky a logiky, které mu v rámci hlouběji studovaného zvoleného užšího zaměření umožnily být v tvůrčím kontaktu s aktuálními vědeckými výsledky. Abstraktní povaha, rozsah a náročnost studia u absolventa podpořily rozvoj schopnosti analyzovat, strukturovat a řešit problémy složité a náročné povahy. Uplatnění nalezne vedle akademické sféry v nejrůznějších oblastech lidské činnosti na místech, kde je potřeba zvládat a využívat nové poznatky a rozsáhlé systémy.
Obor Matematické struktury má jeden studijní plán.
Vstupní požadavky
Předpokládáme, že student tohoto oboru má na počátku prvního ročníku dostatečné znalosti z následujících oborů a oblastí:
- –Kvalitní základy lineární algebry, komplexní a reálné analýzy,
teorie pravděpodobnosti.
- –Základy teorie grup (Sylowovy věty, volné grupy, nilpotence), Lieových grup, analýzy na varietách, teorie okruhů a modulů nad okruhy (podmínky konečnosti, projektivita a injektivita modulu), komutativní algebry (Galoisova teorie a celistvá rozšíření).
- –Mírně pokročilá znalost matematické logiky (výroková logika a logika prvního řádu, neúplnost, nerozhodnutelnost).
- –Pasivní znalost angličtiny umožňující dostatečné porozumění matematickým přednáškám a odborným textům.
- –Základy teorie grup (Sylowovy věty, volné grupy, nilpotence), Lieových grup, analýzy na varietách, teorie okruhů a modulů nad okruhy (podmínky konečnosti, projektivita a injektivita modulu), komutativní algebry (Galoisova teorie a celistvá rozšíření).
Studentům, kteří tyto požadavky nesplňují, může garant studijního programu stanovit způsob jejich doplnění, například absolvováním vybraných předmětů bakalářského studia v rámci individuálního studijního plánu.
Doporučený průběh studia
Podrobnější informace k doporučenému průběhu studia lze najít na stránkách http://garant.karlin.mff.cuni.cz/stud/nmgr_ob_str.shtml
1. rok studia
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NMAG401 | Algebraická geometrie | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMAG403 | Kombinatorika | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMAG405 | Universální algebra 1 | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMAG409 | Algebraická topologie 1 | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMAG411 | Riemannova geometrie 1 | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMAG407 | Teorie modelů | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NSZZ023 | Diplomová práce I | 6 | — | 0/4 Z | |
| Volitelné a povinně volitelné předměty | 26 | ||||
2. rok studia
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NSZZ024 | Diplomová práce II | 9 | 0/6 Z | — | |
| NSZZ025 | Diplomová práce III | 15 | — | 0/10 Z | |
| Volitelné a povinně volitelné předměty | 36 | ||||
Shrnutí studijního plánu
Povinné předměty
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NMAG401 | Algebraická geometrie | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMAG403 | Kombinatorika | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMAG405 | Universální algebra 1 | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMAG407 | Teorie modelů | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMAG409 | Algebraická topologie 1 | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMAG411 | Riemannova geometrie 1 | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NSZZ023 | Diplomová práce I | 6 | — | 0/4 Z | |
| NSZZ024 | Diplomová práce II | 9 | 0/6 Z | — | |
| NSZZ025 | Diplomová práce III | 15 | — | 0/10 Z | |
Povinně volitelné předměty
Je třeba získat alespoň 35 kreditů z povinně volitelných předmětů.
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NMAG462 | Modulární formy a L-funkce I | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMAG473 | Modulární formy a L-funkce II | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMAG455 | Kvadratické formy a třídová tělesa I | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMAG456 | Kvadratické formy a třídová tělesa II | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMAG431 | Kombinatorická teorie grup 1 | 1 | 2/0 Z | — | |
| NMAG432 | Kombinatorická teorie grup 2 | 5 | — | 2/0 Zk | |
| NMAG433 | Riemannovy plochy | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMAG434 | Kategorie modulů a homologická algebra | 6 | — | 3/1 Z+Zk | |
| NMAG435 | Teorie svazů 1 | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMAG436 | Křivky a funkční tělesa | 6 | — | 4/0 Zk | |
| NMAG437 | Seminář z diferenciální geometrie | 3 | 0/2 Z | 0/2 Z | |
| NMAG438 | Reprezentace grup 1 | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NMAG440 | Binární systémy | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMAG442 | Teorie reprezentací konečně-dimenzionálních algeber | 6 | — | 3/1 Z+Zk | |
| NMAG444 | Kombinatorika na slovech | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMAG446 | Logika a složitost | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMAG448 | Teorie invariantů | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NMAG450 | Universální algebra 2 | 4 | — | 2/1 Z+Zk | |
| NMAG452 | Úvod do diferenciální topologie | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMAG454 | Fibrované prostory a kalibrační pole | 6 | — | 3/1 Z+Zk | |
| NMAG531 | Aproximace modulů | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMAG532 | Algebraická topologie 2 | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NMAG533 | Harmonická analýza 1 | 6 | 3/1 Z+Zk | — | |
| NMAG534 | Harmonická analýza 2 | 6 | — | 3/1 Z+Zk | |
| NMAG536 | Důkazová složitost a P vs. NP problém | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMMB401 | Automaty a konvoluční kódy | 6 | 3/1 Z+Zk | — | |
| NDMI013 | Kombinatorická a výpočetní geometrie II | 6 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NDMI028 | Aplikace lineární algebry v kombinatorice | 6 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NDMI045 | Analytická a kombinatorická teorie čísel | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NDMI073 | Kombinatorika a grafy III | 6 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NTIN022 | Pravděpodobnostní techniky | 6 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NTIN090 | Základy složitosti a vyčíslitelnosti | 5 | 2/1 Z+Zk | — | |
Státní závěrečná zkouška
Podmínky pro přihlášení ke státní závěrečné zkoušce
- – Získání alespoň 120 kreditů.
- – Splnění všech povinných předmětů studijního plánu.
- – Splnění povinně volitelných předmětů v rozsahu alespoň 35 kreditů.
- – Odevzdání vypracované diplomové práce ve stanoveném termínu.
- – Splnění všech povinných předmětů studijního plánu.
Ústní část státní závěrečné zkoušky
Ústní část státní závěrečné zkoušky studijního oboru Matematické struktury se skládá ze společných požadavků z z tematického okruhu 1. Matematické struktury a z požadavků užšího zaměření. Toto zaměření si posluchač určí volbou jednoho z tematických okruhů 2A, 2B, 2C nebo 2D uvedených níže.
Podrobnější vysvětlení požadavků k ústní části státní závěrečné zkoušky lze najít na stránkách http://garant.karlin.mff.cuni.cz/stud/nmgr_ob_str_szz.shtml.
Požadavky k ústní části státní závěrečné zkoušky
Společné požadavky
1. Matematické struktury
Základy algebraické geometrie, univerzální algebry, Riemannovy geometrie, algebraické topologie, teorie modelů a kombinatoriky.
Užší zaměření
2A. Geometrie
Harmonická analýza a invarianty klasických grup. Riemannovy plochy. Algebraická topologie. Fíbrované prostory a kovariantní derivace.
2B. Teorie reprezentací
Reprezentace grup. Reprezentace konečně dimenzionálních algeber. Kombinatorická teorie grup. Křivky a funkční tělesa. Homologická algebra.
2C. Obecná a kombinatorická algebra
Konečné grupy a jejich reprezentace, kombinatorická teorie grup, binární systémy (pologrupy, kvazigrupy, aj.). Pokročilá universální algebra (svazy, klony, malcevovské podmínky, aj.). Složitost a vyčíslitelnost, nerozhodnutelnost v algebraických systémech.
2D. Kombinatorika
Aplikace lineární algebry v kombinatorice a teorii grafů. Užití pravděpodobnostni metody v kombinatorice a teorii grafů. Analytická a kombinatorická teorie čísel. Kombinatorická a výpočetní geometrie. Strukturální a algoritmická teorie grafů.
