Matematika se zaměřením na vzdělávání

Garantující pracoviště: Katedra didaktiky matematiky Garantka studijního programu: doc. RNDr. Jarmila Robová, CSc.

Doporučený průběh studia

Předměty povinné jsou vytištěny tučně, povinně volitelné předměty normálním písmem, doporučené volitelné předměty kurzívou.

Hlavní studijní plán (maior)

1. rok studia

kód	Předmět		Kredity	ZS	LS
	Povinné předměty – obecná část:
NTVY014	Tělesná výchova I	tv	1	0/2 Z	—
NTVY015	Tělesná výchova II	tv	1	—	0/2 Z
NMTM110	Informační technologie pro učitele	it	3	—	1/2 KZ
	Anglický jazyk	a
	Povinné předměty – oborová část:
NMTM101	Matematická analýza I		8	4/2 Z+Zk	—
NMTM103	Lineární algebra I		4	2/2 Z+Zk	—
NMTM105	Aritmetika a algebra I		3	2/1 Z+Zk	—
NMTM102	Matematická analýza II		4	—	2/2 Z+Zk
NMTM104	Lineární algebra II		4	—	2/2 Z+Zk
NMTM106	Základy planimetrie		4	—	2/2 Z+Zk

^it Tento předmět si studenti postupující dle plánu Fyzika se zaměřením na vzdělávání (plán maior i minor) a Informatika se zaměřením na vzdělávání (plán maior i minor) zapisují v zimním semestru. V letním semestru si předmět zapisují studenti postupující dle plánu Deskriptivní geometrie se zaměřením na vzdělávání (plán maior i minor) a studenti Matematika se zaměřením na vzdělávání v kombinaci s dalším programem na FF UK.

2. rok studia

kód	Předmět		Kredity	ZS	LS
	Povinné předměty – obecná část:
NTVY016	Tělesná výchova III	tv	1	0/2 Z	—
NTVY017	Tělesná výchova IV	tv	1	—	0/2 Z
NJAZ091	Anglický jazyk	a	1	0/0 Zk	0/0 Zk
	Povinné předměty – oborová část:
NMTM201	Matematická analýza III		4	2/2 Z+Zk	—
NMTM203	Geometrie I		4	2/2 Z+Zk	—
NMTM205	Stereometrie		3	1/2 Z+Zk	—
NMTM207	Finanční matematika		2	0/2 Z	—
NMTM202	Matematická analýza IV		4	—	2/2 Z+Zk
NMTM204	Geometrie II		4	—	2/2 Z+Zk
NMTM206	Aritmetika a algebra II		3	—	2/1 Z+Zk
NMTM208	Kombinatorika		3	—	2/0 Zk

^a Jednosemestrální předmět NJAZ091 se skládá pouze z povinné zkoušky z anglického jazyka, kterou je možno absolvovat buď v ZS, nebo v LS. Před povinnou zkouškou doporučujeme absolvovat výuku anglického jazyka v rámci volitelných předmětů dle své úrovně. Pro mírně pokročilé: NJAZ071, NJAZ073, NJAZ075, NJAZ089, pro středně pokročilé: NJAZ070, NJAZ072, NJAZ074, NJAZ090, pro pokročilé: NJAZ170, NJAZ172, NJAZ174, NJAZ176.

^tv Místo kteréhokoli z předmětů NTVY014, NTVY015, NTVY016, NTVY017 (ale nejvýše jednoho z nich) si lze zapsat buď Letní výcvikový kurz NTVY018, nebo Zimní výcvikový kurz NTVY019. Tyto kurzy může student absolvovat kdykoli v průběhu studia.

3. rok studia

kód	Předmět		Kredity	ZS	LS
	Povinné předměty – obecná část:
NPEP301	Úvod do psychologie		3	2/0 Zk	—
NPEP606	Pedagogická propedeutika		3	—	0/2 Z
NSZZ031	Vypracování a konzultace bakalářské práce	bc	6	0/4 Z	0/4 Z
	Povinně volitelné předměty – obecná část		4
	Povinně volitelné předměty – oborová část		2
	Povinné předměty – oborová část:
NMTM301	Diferenciální geometrie		4	2/2 Z+Zk	—
NMTM303	Základy zobrazovacích metod		2	1/1 KZ	—
NMTM305	Dějiny matematiky I		2	2/0 Kv	—
NMTM307	Metody řešení matematických úloh		2	0/2 Z	—
NMTM306	Dějiny matematiky II		2	—	2/0 Kv
NMTM310	Pedagogická praxe z matematiky I		2	—	0/1 Z

^bc Předmět je jednosemestrální, je možno si jej zapsat v zimním, nebo v letním semestru. Doporučený semestr: letní.

Povinně volitelné předměty – obecná část (alespoň 4 kredity)

kód	Předmět		Kredity	ZS	LS
NPEP601	Rétorika a komunikace s lidmi I		2	0/2 Z	—
NPEP602	Sociální dovednosti a práce s lidmi I		2	0/2 Z	—
NPEP603	Rétorika a komunikace s lidmi II		2	—	0/2 Z
NPEP604	Sociální dovednosti a práce s lidmi II		2	—	0/2 Z

Povinně volitelné předměty – oborová část (alespoň 2 kredity)

kód	Předmět		Kredity	ZS	LS
NMTM331	Bakalářský seminář z matematiky I	1	2	0/2 Z	—
NMTM332	Bakalářský seminář z matematiky II	1	2	—	0/2 Z

¹Předměty Bakalářský seminář z matematiky I a II si lze zapsat oba, nebo kterýkoli z nich.

Doporučené volitelné předměty

kód	Předmět		Kredity	ZS	LS
NMTM161	Matematický proseminář I		2	0/2 Z	—
NMTM162	Matematický proseminář II		2	—	0/2 Z
NMIN203	Mathematica pro začátečníky	2	2	0/2 Z	0/2 Z
NMIN264	Mathematica pro pokročilé	3	2	—	0/2 Z
NMUM365	Seminář z kombinatoriky a teorie grafů		2	—	0/2 Z
NMUG361	Aplikace deskriptivní geometrie		2	2/0 Z	—
NUMV090	Teorie her		2	—	2/0 Z
NUMV047	Pravděpodobnost a finanční matematika pro střední školu		3	0/2 Z	—
NUMV048	Statistika a pojistná matematika pro střední školu		3	—	0/2 Z
NUMV058	Řecké matematické texty I		3	0/2 Z	—

² Volitelný předmět je jednosemestrální, je možno jej absolvovat v zimním, nebo v letním semestru.

³ Volitelný předmět bývá vyučován zpravidla jednou za dva roky.

Některé volitelné předměty nemusejí být v tomto akademickém roce vyučovány.

Přidružený studijní plán (minor)

1. rok studia

kód	Předmět		Kredity	ZS	LS
NMTM101	Matematická analýza I		8	4/2 Z+Zk	—
NMTM103	Lineární algebra I		4	2/2 Z+Zk	—
NMTM105	Aritmetika a algebra I		3	2/1 Z+Zk	—
NMTM102	Matematická analýza II		4	—	2/2 Z+Zk
NMTM104	Lineární algebra II		4	—	2/2 Z+Zk
NMTM106	Základy planimetrie		4	—	2/2 Z+Zk

2. rok studia

kód	Předmět		Kredity	ZS	LS
NMTM201	Matematická analýza III		4	2/2 Z+Zk	—
NMTM203	Geometrie I		4	2/2 Z+Zk	—
NMTM205	Stereometrie		3	1/2 Z+Zk	—
NMTM207	Finanční matematika		2	0/2 Z	—
NMTM202	Matematická analýza IV		4	—	2/2 Z+Zk
NMTM204	Geometrie II		4	—	2/2 Z+Zk
NMTM206	Aritmetika a algebra II		3	—	2/1 Z+Zk
NMTM208	Kombinatorika		3	—	2/0 Zk

3. rok studia

kód	Předmět		Kredity	ZS	LS
	Povinně volitelné předměty – oborová část		2
NMTM301	Diferenciální geometrie		4	2/2 Z+Zk	—
NMTM303	Základy zobrazovacích metod		2	1/1 KZ	—
NMTM305	Dějiny matematiky I		2	2/0 Kv	—
NMTM307	Metody řešení matematických úloh		2	0/2 Z	—
NMTM306	Dějiny matematiky II		2	—	2/0 Kv
NMTM310	Pedagogická praxe z matematiky I		2	—	0/1 Z

Povinně volitelné předměty – oborová část (2 kredity)

kód	Předmět		Kredity	ZS	LS
NMTM331	Bakalářský seminář z matematiky I	1	2	0/2 Z	—
NMTM332	Bakalářský seminář z matematiky II	1	2	—	0/2 Z

¹Předměty Bakalářský seminář z matematiky I a II si lze zapsat oba, nebo kterýkoli z nich.

Doporučené volitelné předměty

kód	Předmět		Kredity	ZS	LS
NMTM110	Informační technologie pro učitele		3	—	1/2 KZ
NMTM161	Matematický proseminář I		2	0/2 Z	—
NMTM162	Matematický proseminář II		2	—	0/2 Z
NMIN203	Mathematica pro začátečníky	2	2	0/2 Z	0/2 Z
NMIN264	Mathematica pro pokročilé	3	2	—	0/2 Z
NMUM365	Seminář z kombinatoriky a teorie grafů		2	—	0/2 Z
NMUG361	Aplikace deskriptivní geometrie		2	2/0 Z	—
NUMV090	Teorie her		2	—	2/0 Z
NUMV047	Pravděpodobnost a finanční matematika pro střední školu		3	0/2 Z	—
NUMV048	Statistika a pojistná matematika pro střední školu		3	—	0/2 Z
NUMV058	Řecké matematické texty I		3	0/2 Z	—

² Volitelný předmět je jednosemestrální, je možno jej absolvovat v zimním, nebo v letním semestru.

³ Volitelný předmět bývá vyučován zpravidla jednou za dva roky.

Některé volitelné předměty nemusejí být v tomto akademickém roce vyučovány.

Požadavky znalostí ke státní závěrečné zkoušce

Matematická analýza

1. Posloupnosti reálných čísel, limity.
Limita posloupnosti (vlastní a nevlastní), Bolzanova-Cauchyova podmínka. Věty o limitách. Vybrané posloupnosti.

2. Elementární funkce a jejich zavedení.
Goniometrické funkce a cyklometrické funkce. Exponenciální funkce, přirozený a obecný logaritmus, obecná mocnina, odmocnina. Vlastnosti těchto funkcí a jejich vzájemné vztahy.

3. Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Vlastnosti spojitých funkcí na uzavřeném intervalu. Průběh funkce, užití vyšších derivací.
Limita funkce, aritmetika limit, limita složené funkce, limitní přechod v nerovnosti, limita monotónní funkce. Spojitost funkce v bodě a na intervalu, Heineova definice spojitosti, vlastnosti spojitých funkcí na uzavřeném intervalu. Derivace funkce, početní pravidla pro derivování, derivace inverzní funkce. Věty o střední hodnotě: Rolleova, Lagrangeova a Cauchyova. L'Hospitalovo pravidlo. Vztah derivace a monotonie funkce, nutné a postačující podmínky pro extrém. Taylorův polynom, Taylorova věta. Konvexnost a konkávnost a jejich souvislost s druhou derivací funkce. Asymptoty.

4. Primitivní funkce, Newtonův integrál.
Základní primitivní funkce. Integrace per partes. První a druhá věta o substituci. Integrace racionálních funkcí, základní typy substitucí.

5. Riemannův integrál.
Zavedení Riemannova integrálu, geometrická interpretace. Riemannův integrál jako funkce horní meze. Newtonova-Leibnizova formule. Existenční věty pro Riemannův integrál. Nevlastní integrál. Délka křivky zadané parametricky, objem rotačního tělesa a povrch jeho pláště, obsah plochy zadané parametricky.

6. Nekonečné číselné řady, mocninné řady.
Součet řady, konvergentní a divergentní řady, Bolzanova-Cauchyova podmínka, nutná podmínka konvergence. Řady s nezápornými členy a kritéria jejich konvergence: srovnávací, odmocninové, podílové a integrální kritérium, limitní tvary kritérií. Řady se střídavými znaménky, Leibnizovo kritérium. Absolutně a neabsolutně konvergentní řady. Mocninná řada a její konvergence, poloměr konvergence. Derivace a integrace mocninné řady člen po členu.

7. Diferenciální rovnice.
Věty o existenci a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy. Metody řešení diferenciálních rovnic (rovnice se separovanými proměnnými, lineární rovnice prvního a vyššího řádu). Lineární rovnice prvního a vyššího řádu: existence a jednoznačnost řešení, struktura množiny řešení, variace konstant, rovnice s konstantními koeficienty, speciální tvary pravé strany.

8. Funkce více proměnných.
Limita a spojitost. Parciální derivace, derivace ve směru, totální diferenciál, gradient. Derivace složené funkce. Věta o inverzní funkci. Věta o implicitní funkci. Lokální extrémy, vázané extrémy, metoda Lagrangeových multiplikátorů.

Algebra a lineární algebra

1. Relace, zobrazení a jejich základní vlastnosti.
Relace a jejich vlastnosti. Ekvivalence, uspořádání, úplné uspořádání, příklady. Rozklad množiny podle ekvivalence. Zobrazení (injektivní, surjektivní a bijektivní), skládání zobrazení; jádro a obraz zobrazení, rozklad zobrazení na surjekci, bijekci a injekci.

2. Vektorový prostor, báze, dimenze, lineární zobrazení. Vektorový prostor se skalárním součinem.
Příklady vektorových prostorů, lineární závislost a nezávislost, báze a dimenze konečně generovaného vektorového prostoru, věta o dimenzích spojení a průniku. Vlastnosti homomorfismu, věta o hodnosti a defektu. Skalární součin na reálném vektorovém prostoru, ortonormální báze, ortogonální doplněk podprostoru. Prostor se skalárním součinem, Cauchyova-Schwarzova nerovnost, trojúhelníková nerovnost, Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces.

3. Matice a jejich vlastnosti, užití k řešení soustav lineárních rovnic. Podobnost matic.
Hodnost matice, regulární a singulární matice, inverzní matice, matice homomorfismu. Frobeniova věta o řešitelnosti soustavy lineárních rovnic. Věta o dimenzi vektorového prostoru všech řešení homogenní soustavy. Užití matic k řešení soustav lineárních rovnic, Gaussova eliminační metoda. Vlastní čísla a vlastní vektory, podobnost matic, Jordanova báze, Jordanův kanonický tvar. Charakteristický a minimální polynom.

4. Lineární a bilineární formy.
Lineární formy, duální prostor, duální báze. Bilineární a kvadratické formy a jejich matice, polární báze, normální báze, Sylvesterův zákon setrvačnosti kvadratických forem, signatura.

5. Determinanty a jejich vlastnosti, Cramerovo pravidlo.
Definice determinantu, Sarrusovo pravidlo, věta o rozvoji determinantu, charakterizace regulárních matic pomocí determinantů. Výpočet inverzní matice pomocí determinantů. Věta o násobení determinantů. Řešení soustav lineárních rovnic pomocí Cramerova pravidla.

6. Přirozená a celá čísla, dělitelnost.
Přirozená čísla, Peanovy axiomy, matematická indukce, dobré uspořádání. Konstrukce oboru integrity celých čísel. Dělitelnost, největší společný dělitel, nejmenší společný násobek. Eukleidův algoritmus a Bézoutova věta, Eukleidovo lémma, Základní věta aritmetiky. Numerační soustavy o různých základech. Prvočísla, Eratosthenovo síto, mohutnost množiny všech prvočísel. Fermatova čísla a prvočísla. Přirozená čísla jako svaz. Kongruence modulo n, odvození kritérií dělitelnosti. Malá Fermatova věta.

7. Čísla racionální, reálná a komplexní.
Konstrukce pole racionálních čísel, podílové pole. Reálná čísla (Dedekindovy řezy, desetinné rozvoje, cauchyovské posloupnosti, axiomatický popis R), iracionalita. Řetězové zlomky, konvergenty, aproximace reálných čísel racionálními. Algebraická a transcendentní čísla. Pole komplexních čísel, zavedení, vlastnosti. Algebraický a goniometrický tvar, operace a jejich geometrické znázornění, Moivreova věta a její aplikace. Mohutnosti číselných oborů.

8. Grupy a jejich homomorfismy. Algebraické struktury se dvěma binárními operacemi.
Binární operace na množině. Pojem grupy, grupa permutací, grupy symetrií pravidelných n-úhelníků, další příklady. Podgrupy a jejich vlastnosti, svaz podgrup. Cyklické grupy a jejich vlastnosti. Lagrangeova věta. Homomorfismy grup, příklady. Jádro a obraz homomorfismu a jejich vlastnosti. Faktorizace grupy podle normální podgrupy. Příklady. Okruh, obor integrity, těleso, pole, příklady.

9. Základní pojmy dělitelnosti v komutativním oboru integrity.
Relace dělitelnosti a asociovanosti v oboru integrity. Příklady eukleidovských oborů integrity a příklady na užití Eukleidova algoritmu. Ireducibilní prvek, prvočinitel.

10. Rovnice.
Základní věta algebry. Rovnice 1., 2. a 3. stupně, metody jejich řešení řešení, casus irreducibilis. Vietovy vzorce. Racionální a celočíselné kořeny algebraických rovnic s celočíselnými koeficienty, algebraická a transcendentní čísla. Reciproké rovnice. Lineární diofantické rovnice, Pellova rovnice.

11. Posloupnosti, průměry.
Aritmetická a geometrická posloupnost. Aritmetické posloupnosti vyšších řádů. Geometrická řada a harmonická řada. Aritmetický, geometrický a harmonický průměr, jejich vztah a geometrické znázornění.

Geometrie

Syntetická geometrie

1. Planimetrie (věty i s důkazy).
Pojmy: části přímky (úsečka, polopřímka), vzájemná poloha dvou přímek v rovině, odchylka přímek, části roviny (úhel, polorovina, rovinný pás), dvojice úhlů (vrcholové, vedlejší, souhlasné, střídavé úhly).

Základní věty geometrie trojúhelníku: Thalétova, Eukleidovy, Pýthagorova a její zobecnění (např. Hippokratovy měsíčky), sinová, kosinová, součet vnitřních úhlů. Trojúhelníková nerovnost. Těžiště a ortocentrum, Eulerova přímka, střední příčky, osy stran a osy úhlů, kružnice opsaná, vepsaná a připsaná. Konstrukce trojúhelníku z daných prvků. Aplikace vět o shodnosti a podobnosti trojúhelníků.

Klasifikace a vlastnosti čtyřúhelníků, konstrukce; vlastnosti tečnových a tětivových čtyřúhelníků (Ptolemaiova věta, součty vnitřních úhlů). Konvexní mnohoúhelníky (součet vnitřních úhlů, počet úhlopříček), pravidelné n-úhelníky a jejich vlastnosti.

Kružnice a její vlastnosti (tečny, tětivy, obvodové a středové úhly, úsekový úhel, mocnost bodu ke kružnici, chordála dvou kružnic), konstrukce. Vzájemná poloha dvou kružnic. Apollóniovy úlohy.

Obvody a obsahy rovinných útvarů, např. obsah trojúhelníku, Hérónův vzorec, obsah čtyřúhelníku a n-úhelníku. Obsah a obvod kruhu a jeho částí.

Shodnosti, podobnosti, stejnolehlost. Užití shodností a stejnolehlosti v konstrukčních úlohách. Skládání shodností, posunutá souměrnost. Kruhová inverze.

Axiomatický přístup k výstavbě geometrie.

2. Stereometrie (věty i s důkazy).
Obrazy těles ve volném rovnoběžném promítání. Základní stereometrické věty a jejich důkazy (rovnoběžnost přímky a roviny, rovnoběžnost dvou rovin, vzájemná poloha tří rovin, kolmost přímky a roviny, kolmost dvou rovin). Průnik přímky s tělesem, průsečnice rovin, řezy mnohostěnů. Vzdálenosti a odchylky bodů, přímek, rovin. Mnohostěny, Eulerova věta. Pravidelné mnohostěny (Platónská tělesa, jejich počet a vlastnosti). Objem a povrch těles a jejich částí, Cavalieriho princip. Geometrická zobrazení v prostoru (shodnosti, podobnosti).

3. Zobrazovací metody.
Princip rovnoběžného a středového promítání. Osová afinita, elipsa jako afinní obraz kružnice, konstrukce elipsy vycházející z osové afinity (Rytzova, trojúhelníková), užití osové afinity při konstrukci řezů hranolů a válců. Základy Mongeova promítání. Základy kosoúhlého promítání a průměty jednoduchých těles. Základy lineární perspektivy.

Analytická geometrie

1. Afinní prostor.
Afinní prostor a jeho zaměření. Lineární kombinace bodů. Lineární soustava souřadnic. Podprostor a jeho parametrické vyjádření. Obecná rovnice nadroviny (odvození pomocí lineárních forem), podprostor jako průnik nadrovin, obecné rovnice podprostoru. Vzájemná poloha podprostorů. Orientace afinního prostoru.

2. Eukleidovský prostor.
Skalární součin, eukleidovský prostor a jeho podprostory, obecná rovnice nadroviny. Vnější součin, vektorový součin a jejich základní vlastnosti. Kartézská soustava souřadnic. Kolmost podprostorů. Odchylka dvou přímek, dvou nadrovin, přímky a nadroviny, odchylka přímky a podprostoru. Vzdálenost bodu od podprostoru, vzdálenost bodu od nadroviny, vzdálenost podprostorů; osa dvou mimoběžných podprostorů, Gramův determinant. Příklady v E² a E³.

3. Množiny bodů daných vlastností, kuželosečky.
Apollóniova kružnice. Kuželosečky jako řezy kuželové plochy, Quételetova-Dandelinova věta. Definice, vlastnosti a klasifikace kuželoseček. Kanonické rovnice kuželoseček a jejich transformace. Ohnisková a vrcholová rovnice kuželosečky. Parametrické vyjádření kuželoseček a rovnice kuželoseček v polárních souřadnicích. Bodové konstrukce elipsy (proužková součtová a rozdílová, trojúhelníková, bodová podle definice), paraboly (bodová dle definice), hyperboly (bodová dle definice). Vzájemná poloha přímky a kuželosečky.

4. Grupy geometrických zobrazení.
Dělicí poměr, afinní zobrazení, asociovaný homomorfismus. Afinity (základní afinity, homothetie), samodružné body a směry, příklady v A² a A³ včetně analytického vyjádření. Projekce. Shodnosti, podobnosti, samodružné body a směry, příklady v E² a E³ včetně analytického vyjádření, klasifikace v E². Stereografická projekce, analytické vyjádření a vlastnosti kruhové inverze. Grupy geometrických transformací.

Diferenciální geometrie

1. Křivky v rovině a v prostoru.
Parametrické vyjádření křivky, příklady. Délka křivky, parametrizace obloukem. Frenetův repér a Frenetovy vzorce v rovině a v prostoru, křivost a torze.

2. Plochy v prostoru.
Parametrické vyjádření plochy, příklady. Tečná rovina, normála. První a druhá základní forma plochy a jejich užití. Hlavní směry a hlavní křivosti plochy, střední a Gaussova křivost. Zobrazení mezi plochami (izometrie, konformní zobrazení).