Učitelství matematiky pro střední školy

Garantující pracoviště: Katedra didaktiky matematiky
Oborový garant: doc. RNDr. Jarmila Robová, CSc.

Doporučený průběh studia

Předměty povinné jsou vytištěny tučně, povinně volitelné předměty normálním písmem, doporučené volitelné předměty kurzívou.

Hlavní studijní plán (maior)

1. rok studia

kód	Předmět		Kredity	ZS	LS
NMTM401	Matematická analýza V		4	2/2 Z+Zk	—
NMTM403	Pravděpodobnost a matematická statistika I		4	2/2 Z+Zk	—
NMTM405	Didaktika matematiky I		5	2/2 Z+Zk	—
NPEP401	Pedagogika I		3	1/1 Z	—
NMTM402	Matematická analýza VI		3	—	2/2 Z+Zk
NMTM404	Pravděpodobnost a matematická statistika II		2	—	2/0 Zk
NMTM406	Didaktika matematiky II		5	—	2/2 Z+Zk
NMTM410	Pedagogická praxe z matematiky II		5		2 týdny Z
NPEP402	Pedagogika II		3	—	1/1 Z
NPEP403	Psychologie		6	—	2/2 Z

2. rok studia

kód	Předmět		Kredity	ZS	LS
NMTM501	Algebra		2	2/0 Zk	—
NMTM503	Logika a teorie množin		2	2/0 Zk	—
NMTM505	Geometrie		2	2/0 Zk	—
NMTM511	Pedagogická praxe z matematiky III		5	2 týdny Z
NSZZ501	Diplomová práce I		8	0/6 Z	—
NPEP501	Diagnostika a autodiagnostika pro učitele		2	0/1 Z	—
NSZZ502	Diplomová práce II		12	—	0/10 Z

Doporučené volitelné předměty

kód	Předmět		Kredity	ZS	LS
NMUM468	Praktické aspekty vyučování matematice		2	—	0/2 Z
NUMV090	Teorie her		2	—	2/0 Z
NMUG404	Vybrané kapitoly z diferenciální geometrie		5	—	2/2 Z+Zk
NMUM365	Seminář z kombinatoriky a teorie grafů		2	—	0/2 Z
NMIN203	Mathematica pro začátečníky	1	2	0/2 Z	0/2 Z
NMIN264	Mathematica pro pokročilé	2	2	—	0/2 Z
NMUG361	Aplikace deskriptivní geometrie		2	2/0 Z	—
NUMV047	Pravděpodobnost a finanční matematika pro střední školu		3	0/2 Z	—
NUMV048	Statistika a pojistná matematika pro střední školu		3	—	0/2 Z

Některé volitelné předměty nemusí být v tomto akademickém roce vyučovány.

¹ Volitelný předmět je jednosemestrální, je možno jej absolvovat v zimním nebo v letním semestru.

² Volitelný předmět bývá vyučován zpravidla jednou za dva roky.

Přidružený studijní plán (minor)

1. rok studia

kód	Předmět		Kredity	ZS	LS
NMTM401	Matematická analýza V		4	2/2 Z+Zk	—
NMTM403	Pravděpodobnost a matematická statistika I		4	2/2 Z+Zk	—
NMTM405	Didaktika matematiky I		5	2/2 Z+Zk	—
NMTM402	Matematická analýza VI		3	—	2/2 Z+Zk
NMTM404	Pravděpodobnost a matematická statistika II		2	—	2/0 Zk
NMTM406	Didaktika matematiky II		5	—	2/2 Z+Zk
NMTM410	Pedagogická praxe z matematiky II		5		2 týdny Z

2. rok studia

kód	Předmět		Kredity	ZS	LS
NMTM501	Algebra		2	2/0 Zk	—
NMTM503	Logika a teorie množin		2	2/0 Zk	—
NMTM505	Geometrie		2	2/0 Zk	—
NMTM511	Pedagogická praxe z matematiky III		5	2 týdny Z

Doporučené volitelné předměty

Doporučujeme stejné volitelné předměty jako u plánu maior.

Požadavky znalostí ke státní závěrečné zkoušce z matematiky a didaktiky matematiky

Matematická analýza

Teorie míry a integrálu
Základy teorie míry, Lebesgueova míra, měřitelné funkce. Lebesgueův integrál funkcí jedné a více proměnných, Fubiniova věta, věta o substituci, příklady substitucí (polární souřadnice, sférické, válcové souřadnice). Aplikace vícerozměrných integrálů (objemy, obsahy ploch zadaných parametricky, těžiště). Záměna pořadí limity a integrálu (věta Leviho a Lebesgueova).

Fourierovy řady
Ortonormální systémy, Fourierovy koeficienty, Parsevalova rovnost, Besselova nerovnost; bodová konvergence.

Metrické prostory
Metrické prostory, normované lineární prostory, prostory se skalárním součinem. Metrické pojmy: průměr množiny, omezené množiny, vzdálenosti bodů a množin. Otevřené a uzavřené množiny, vnitřek, hranice, uzávěr, klasifikace bodů. Limita posloupnosti, cauchyovská posloupnost. Vztah mezi konvergencí, uzávěrem a hromadnými body. Spojitá zobrazení, nutné a postačující podmínky pro spojitost. Lipschitzovská zobrazení a kontrakce. Úplné prostory, Cantorova věta, Banachova věta o pevném bodu a její aplikace (výpočet odmocnin, existence a jednoznačnost řešení ODR).

Pravděpodobnost a matematická statistika

Kombinatorika
Pravidla součinu a součtu, variace, permutace, kombinace, kombinační čísla a Pascalův trojúhelník. Princip inkluze a exkluze, permutace bez pevných bodů. Řešení rekurentních rovnic, generující funkce. Fibonacciho čísla.

Pravděpodobnost
Pravděpodobnostní prostor, různé definice pravděpodobnosti. Podmíněná pravděpodobnost a nezávislost náhodných jevů. Náhodné veličiny – základní charakteristiky, nezávislost. Diskrétní a spojitá rozdělení náhodných veličin. Náhodné vektory. Zákon velkých čísel, centrální limitní věta.

Matematická statistika
Popisná statistika. Korelace, regresní přímka. Odhady parametrů a testy hypotéz. Lineární model a jeho speciální případy, lineární regrese.

Algebra

Polynomy a jejich kořeny
Definice polynomu a polynomiální funkce. Hornerovo schéma, Lagrangeova interpolace. Základní věta algebry a její důsledky. Derivace polynomu, násobnost kořenů polynomu. Elementární úvod ke Galoisově teorii: Lagrangeova postupná symetrizace na příkladu kubické rovnice (aplikace Vietových vět, symetrických polynomů, cyklických grup, faktorizace grup permutací), normální řada pro obecnou kubickou a kvartickou rovnici, věta o řešitelnosti algebraické rovnice v radikálech. Hlavní věta o symetrických polynomech. Diskriminant, vyjádření pomocí determinantů.

Grupy, pole
Grupy cyklické a abelovské – příklady a souvislosti. Jednoduché grupy. Eisensteinovo kritérium. Prvopole konečného i nekonečného pole, struktura konečných polí. Kořenové a rozkladové pole, příklady; Kroneckerova věta, aplikace při zavedení komplexních čísel.

Geometrie

Konstruovatelnost pravítkem a kružítkem
Eukleidovsky konstruovatelné body a čísla; zdvojení krychle, trisekce úhlu, kvadratura kruhu, rektifikace kružnice. Konstruovatelnost pravidelných n-úhelníků.

Klasifikace geometrií
Základní orientace v tématech: Axiomatizace eukleidovské geometrie, absolutní geometrie, Lobačevského pangeometrie. Neeukleidovské geometrie a jejich modely. Kleinův Erlangenský program, klasifikace geometrií. Riemannovská klasifikace geometrií, hyperbolické a eliptické geometrie.

Logika a teorie množin

Axiomatická teorie množin, ZFC. Množina, třída, Russellův paradox. Konečné, spočetné a nespočetné množiny. Dobré uspořádání. Kardinální a ordinální čísla. Axiom výběru a jeho ekvivalenty (zejména Zornovo lémma). Model přirozených čísel v teorii množin. Čísla celá, racionální, reálná. Mohutnosti oborů přirozených, celých, racionálních a reálných čísel. Cantorova věta (potenční množina má větší kardinalitu než množina sama), Cantorova-Bernsteinova věta. Hypotéza kontinua.

Didaktika matematiky

Student prokáže znalost cílů a obsahu matematického vzdělávání na střední škole a druhém stupni základní školy. Je schopen transformovat znalosti z matematiky získané na vysoké škole do roviny školské matematiky. Vysvětlí souvislosti mezi partiemi probíranými na základní škole a na škole střední.

Student dokáže aplikovat metody vhodné pro výuku školské matematiky, metody řešení matematických úloh včetně diagnostických metod. Užívá účelně množinově-logickou symboliku. Student prokáže schopnost vyložit zadané téma z následujících okruhů učiva. Zaměří se na motivaci pojmů a vět s důrazem na matematické modely a na objekty z reálného světa, na zavedení pojmů a studium jejich vlastností. Umí je využívat při řešení matematických úloh včetně úloh z praxe.

– Množiny, výroky (induktivní a deduktivní postupy, metody důkazů).

– Číselné obory (čísla přirozená, celá, racionální, reálná a komplexní).

– Výrazy s proměnnými (mocniny a odmocniny, mnohočleny, lomené výrazy).

– Poměry a procenta.

– Funkce a jejich vlastnosti (lineární, kvadratické, mocninné, lineární lomené, exponenciální a logaritmické, goniometrické).

– Rovnice, nerovnice a jejich soustavy včetně úloh s parametry (lineární, s absolutními hodnotami, kvadratické, exponenciální a logaritmické, goniometrické).

– Posloupnosti a nekonečné řady (aritmetická a geometrická posloupnost, jednoduché a složené úročení, limita posloupnosti, nekonečná geometrická řada).

– Trigonometrie (Pýthagorova věta, Eukleidovy věty, sinová a kosinová věta).

– Planimetrie (množiny bodů dané vlastnosti, konstrukční úlohy, shodnost, podobnost a stejnolehlost; obvody a obsahy rovinných útvarů).

– Stereometrie (vzájemná poloha přímek a rovin, řezy těles, odchylky a vzdálenosti; povrchy a objemy těles), rozvíjení prostorové představivosti.

– Analytická geometrie (operace s vektory, skalární a vektorový součin, rovnice přímek a rovin, odchylky a vzdálenosti, kuželosečky).

– Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika (variace, permutace, kombinace, binomická věta; náhodný jev a jeho pravděpodobnost, nezávislé jevy, podmíněná pravděpodobnost; relativní četnost, charakteristiky polohy a variability).

– Základy diferenciálního a integrálního počtu (spojitost funkce, limita, derivace, průběh funkce, primitivní funkce, určitý integrál).