Matematická analýza
Tato stránka vychází z podkladů pro tištěné studijní plány (tzv. Karolinku).
Garantující pracoviště: Katedra matematické analýzy
Oborový garant: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc.
Matematická analýza zahrnuje řadu oblastí matematiky — teorii funkcí reálné a komplexní proměnné, teorii míry a integrálu, funkcionální analýzu, obyčejné i parciální diferenciální rovnice, teorii potenciálu aj. Jejich vývoj byl inspirován také potřebami fyziky, biologie, ekonomie a jiných věd. Díky velmi vysoké adaptabilitě získané studiem a schopnosti podílet se tvořivě na řešení problémů z celé řady oborů je uplatnění absolventů značně univerzální a není omezeno na pracoviště s čistě badatelským zaměřením.
Studijní program Matematická analýza má dva studijní plány — jeden pro studenty, kteří začali studovat v roce 2020 nebo 2021, a jeden pro studenty, kteří začali studovat v roce 2022 nebo později.
Studijní plán pro studenty s počátkem studia v roce 2022 nebo později
Vstupní požadavky
Předpokládáme, že student tohoto programu má na počátku prvního ročníku dostatečné znalosti z následujících oborů a oblastí:
- – Znalost angličtiny na úrovni umožňující studium odborné literatury a sledování odborných přednášek v angličtině
- – Diferenciální počet jedné a několika reálných proměnných
- – Integrální počet jedné reálné proměnné
- – Teorie míry, Lebesgueova míra a Lebesgueův integrál
- – Základy algebry (maticový počet, vektorové prostory)
- – Základy obecné topologie (metrické a topologické prostory, úplnost a kompaktnost)
- – Základy komplexní analýzy (Cauchyova věta, reziduová věta)
- – Základy funkcionální analýzy (Banachovy a Hilbertovy prostory, duály, slabá konvergence, omezené operátory, kompaktní operátory, Fourierova transformace)
- – Základy teorie obyčejných diferenciálních rovnic (základní vlastnosti řešení a maximálních řešení, soustavy lineárních rovnic, stabilita)
- – Základy teorie parciálních diferenciálních rovnic (kvazilineární rovnice prvního řádu, Laplaceova rovnice a rovnice vedení tepla — klasické řešení a princip maxima, vlnová rovnice — klasické řešení, konečná rychlost šíření vlny)
- – Diferenciální počet jedné a několika reálných proměnných
Studentům, kteří tyto požadavky nesplňují, může garant studijního programu stanovit způsob jejich doplnění, například absolvováním vybraných předmětů bakalářského studia v rámci individuálního studijního plánu.
Doporučený průběh studia
Doplňující informace k doporučenému průběhu studia lze najít na stránkách https://www.mff.cuni.cz/cs/math/pro-studenty/mgr-programy/mgr-analyza-garant/ma-dopln-sp.
1. rok studia
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NMMA401 | Funkcionální analýza 1 | 8 | 4/2 Z+Zk | — | |
| NMMA403 | Reálné funkce 1 | 4 | 2/0 Zk | — | |
| NMMA405 | Parciální diferenciální rovnice 1 | 6 | 3/1 Z+Zk | — | |
| NMMA407 | Obyčejné diferenciální rovnice 2 | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMMA402 | Funkcionální analýza 2 | 6 | — | 3/1 Z+Zk | |
| NMMA406 | Parciální diferenciální rovnice 2 | 6 | — | 3/1 Z+Zk | |
| NMMA410 | Komplexní analýza | 6 | — | 3/1 Z+Zk | |
| NSZZ023 | Diplomová práce I | 6 | — | 0/4 Z | |
| Volitelné a povinně volitelné předměty | 13 | ||||
2. rok studia
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NSZZ024 | Diplomová práce II | 9 | 0/6 Z | — | |
| NSZZ025 | Diplomová práce III | 15 | — | 0/10 Z | |
| Volitelné a povinně volitelné předměty | 36 | ||||
Shrnutí studijního plánu
Povinné předměty
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NMMA401 | Funkcionální analýza 1 | 8 | 4/2 Z+Zk | — | |
| NMMA402 | Funkcionální analýza 2 | 6 | — | 3/1 Z+Zk | |
| NMMA403 | Reálné funkce 1 | 4 | 2/0 Zk | — | |
| NMMA405 | Parciální diferenciální rovnice 1 | 6 | 3/1 Z+Zk | — | |
| NMMA406 | Parciální diferenciální rovnice 2 | 6 | — | 3/1 Z+Zk | |
| NMMA407 | Obyčejné diferenciální rovnice 2 | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMMA410 | Komplexní analýza | 6 | — | 3/1 Z+Zk | |
| NSZZ023 | Diplomová práce I | 6 | — | 0/4 Z | |
| NSZZ024 | Diplomová práce II | 9 | 0/6 Z | — | |
| NSZZ025 | Diplomová práce III | 15 | — | 0/10 Z | |
Povinně volitelné předměty
Skupina I.
Tuto skupinu tvoří přednášky, které jsou úvodem do jednotlivých oblastí výzkumu v matematické analýze, do aplikací matematické analýzy či do vybraných oblastí jiných oborů, které s matematickou analýzou souvisejí. Za předměty z této skupiny je třeba získat alespoň 21 kreditů. Některé z těchto předmětů nejsou vyučovány každý rok, ale pouze jednou za dva roky.
Část kreditů z tohoto počtu je možné získat za předměty absolvované během stáží na zahraničních univerzitách, pokud jsou tyto předměty ekvivalentní některému z vyjmenovaných. Kromě toho lze započítat až 8 kreditů za předměty absolvované během stáží, i když nejsou ekvivalentní žádnému z vyjmenovaných, pokud splňují podmínky pro povinně volitelné přednášky uvedené v první větě předchozího odstavce a pokud je předem schválí garant programu.
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NMAG409 | Algebraická topologie 1 | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMAG433 | Riemannovy plochy | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMMA404 | Reálné funkce 2 | 4 | — | 2/0 Zk | |
| NMMA433 | Deskriptivní teorie množin 1 | 4 | 2/0 Zk | — | |
| NMMA434 | Deskriptivní teorie množin 2 | 4 | — | 2/0 Zk | |
| NMMA435 | Topologické metody ve funkcionální analýze 1 | 4 | 2/0 Zk | — | |
| NMMA436 | Topologické metody ve funkcionální analýze 2 | 4 | — | 2/0 Zk | |
| NMMA437 | Derivace a integrál pro pokročilé 1 | 4 | 2/0 Zk | — | |
| NMMA438 | Derivace a integrál pro pokročilé 2 | 4 | — | 2/0 Zk | |
| NMMA440 | Diferenciální rovnice v Banachových prostorech | 4 | — | 2/0 Zk | |
| NMMA501 | Nelineární funkcionální analýza 1 | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMMA502 | Nelineární funkcionální analýza 2 | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NMMA531 | Parciální diferenciální rovnice 3 | 4 | 2/0 Zk | — | |
| NMMA533 | Úvod do teorie interpolací 1 | 4 | 2/0 Zk | — | |
| NMMA534 | Úvod do teorie interpolací 2 | 4 | — | 2/0 Zk | |
| NMMO401 | Mechanika kontinua | 6 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMMO532 | Matematická teorie Navierových-Stokesových rovnic | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMMO536 | Matematické metody v mechanice stlačitelných tekutin | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMNV405 | Metoda konečných prvků 1 | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
Skupina II.
Tuto skupinu tvoří vybrané vědecké či pracovní semináře. Za předměty z této skupiny je třeba získat alespoň 12 kreditů (za každý z těchto seminářů lze získat 3 kredity za každý semestr). Semináře lze zapisovat opakovaně.
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NMMA431 | Seminář z diferenciálních rovnic | 3 | 0/2 Z | 0/2 Z | |
| NMMA452 | Seminář z parciálních diferenciálních rovnic | 3 | 0/2 Z | 0/2 Z | |
| NMMA454 | Seminář z prostorů funkcí | 3 | 0/2 Z | 0/2 Z | |
| NMMA455 | Seminář z reálné a abstraktní analýzy | 3 | 0/2 Z | 0/2 Z | |
| NMMA456 | Seminář z teorie reálných funkcí | 3 | 0/2 Z | 0/2 Z | |
| NMMA457 | Seminář ze základních vlastností prostorů funkcí | 3 | 0/2 Z | 0/2 Z | |
| NMMA458 | Topologický seminář | 3 | 0/2 Z | 0/2 Z | |
| NMMA459 | Seminář ze základů funkcionální analýzy | 3 | 0/2 Z | 0/2 Z | |
Doporučené volitelné předměty
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NMMA462 | Obecná topologie 2 | 6 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NMMA466 | Aplikace diferenciálních rovnic v biologii | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMMA479 | Kapitoly z diskrétních dynamických systémů | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMMA481 | Vybrané partie z harmonické analýzy 1 | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMMA482 | Vybrané partie z harmonické analýzy 2 | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMMA563 | Derivace a integrál pro pokročilé 3 | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMMA564 | Derivace a integrál pro pokročilé 4 | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMMA565 | Úvod do teorie aproximací 1 | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMMA566 | Úvod do teorie aproximací 2 | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMMA575 | Topologické a geometrické vlastnosti konvexních množin 1 | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMMA576 | Topologické a geometrické vlastnosti konvexních množin 2 | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMMA561 | Operátorové algebry 1 | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMMA562 | Operátorové algebry 2 | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMMA574 | Vybrané kapitoly z teorie dynamických systémů | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMMA577 | Zobrazení s konečnou distorzí 1 | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMMA578 | Zobrazení s konečnou distorzí 2 | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMMA654 | Úvod do topologických grup | 3 | — | 2/0 Zk | |
Státní závěrečná zkouška
Podmínky pro přihlášení ke státní závěrečné zkoušce
Podmínky pro přihlášení k poslední části státní závěrečné zkoušky
- – Získání alespoň 120 kreditů.
- – Splnění všech povinných předmětů studijního plánu.
- – Splnění povinně volitelných předmětů ze skupiny I. v rozsahu alespoň 21 kreditů.
- – Splnění povinně volitelných předmětů ze skupiny II. v rozsahu alespoň 12 kreditů.
- – Odevzdání vypracované diplomové práce ve stanoveném termínu.
- – Splnění všech povinných předmětů studijního plánu.
Podmínky pro přihlášení k jiné než poslední části státní závěrečné zkoušky
Tyto podmínky jsou stanoveny vnitřním předpisem Pravidla pro organizaci studia na MFF UK. Pokud je jinou než poslední částí státní závěrečné zkoušky její ústní část, nutnou podmínkou pro přihlášení se k této části státní závěrečné zkoušky je navíc:- – Splnění všech povinných předmětů studijního plánu s výjimkou předmětu NSZZ025 Diplomová práce III.
- – Splnění povinně volitelných předmětů ze skupiny I. v rozsahu alespoň 21 kreditů.
- – Splnění povinně volitelných předmětů ze skupiny II. v rozsahu alespoň 12 kreditů.
- – Splnění povinně volitelných předmětů ze skupiny I. v rozsahu alespoň 21 kreditů.
Ústní část státní závěrečné zkoušky
Ústní část státní závěrečné zkoušky studijního programu Matematická analýza se skládá ze čtyř okruhů, jimiž jsou Reálná a komplexní analýza, Funkcionální analýza, Obyčejné diferenciální rovnice a Parciální diferenciální rovnice. Z každého okruhu dostane uchazeč zpravidla jednu otázku.
Podrobnější vysvětlení požadavků k ústní části státní závěrečné zkoušky lze najít na stránkách https://www.mff.cuni.cz/cs/math/pro-studenty/mgr-programy/mgr-analyza-garant/ma-szz.
Požadavky k ústní části státní závěrečné zkoušky
Tematické okruhy pro ústní část SZZ:1. Reálná a komplexní analýza
Teorie míry — znaménkové míry, Radonovy míry. Absolutně spojité funkce a funkce s konečnou variací. Hausdorffova míra a dimenze.
Meromorfní funkce. Konformní zobrazení. Harmonické funkce dvou proměnných. Nulové body holomorfních funkcí.
2. Funkcionální analýza
Lokálně konvexní prostory a slabé topologie. Spektrální teorie v Banachových algebrách. Spektrum omezených i neomezených operátorů. Integrální transformace. Teorie distribucí.
3. Obyčejné diferenciální rovnice
Carathéodoryova teorie řešení. Soustavy lineárních rovnic prvního řádu. Stabilita a asymptotická stabilita. Dynamické systémy. Bifurkace.
4. Parciální diferenciální rovnice
Lineární a kvazilineární rovnice prvního řádu. Lineární a nelineární eliptické rovnice. Lineární a nelineární parabolické rovnice. Lineární hyperbolické rovnice. Sobolevovy prostory.
