Nejlepší matematický článek vznikl na Matfyzu

Prof. Jan Malý a doktorandka Mgr. Kristýna Kuncová, členové Katedry matematické analýzy MFF UK, získali prestižní ocenění Nejlepší článek, uveřejněný v roce 2013 v časopise Journal of Mathematical Analysis and Applications za článek Non-absolutely Convergent Integrals in Metric Spaces, JMAA 401 (2013), 578–600.

V rozhovoru autoři přiblížili význam tohoto ocenění a především článek samotný, ve kterém popsali, jak se jim podařilo přenést definici neabsolutně konvergentních integrálů do metrického prostoru.

Můžete přiblížit ocenění a jeho význam?

J.M.: Každý rok je oceněn jeden až dva nejlepší články. Ocenění uděluje redakce na počest Williama F. Amese, což byl vynikající americký matematik a šéfredaktor časopisu Journal of Mathematical Analysis and Applications (JMAA) v letech 1991–2006. Časopis vychází v odborném vydavatelství Elsevier a publikuje kolem tisíce článků ročně, takže konkurence je opravdu velká. I přes tento objem se JMAA řadí mezi prestižní časopisy, které si mohou k publikování vybírat ty nejlepší práce – podle impakt faktoru je s hodnotou IF=1.119 na 32. místě mezi matematickými časopisy.

Jak práce vznikla?

K.K.: Článek je upravenou verzí mé diplomové práce. Námět a vize pochází od vedoucího práce, prof. Malého. I s odborným vedením mi ale dalo zpracování tématu dost zabrat. Konečnou podobu jsme článku dávali v prvním roce mého doktorského studia. Prof. Malý byl nejen vedoucím diplomové práce, ale stal se také mým školitelem. Téma mé disertace na diplomovou práci navazuje.

Od čeho se odvíjí téma článku?

J.M.: Jednorozměrná teorie neabsolutně konvergentních integrálů patří ke klasickým partiím matematické analýzy. Vznikla na počátku minulého století z problému, jak rozšířit Lebesgueův integrál, aby se daly integrovat všechny derivace. Její počátky jsou spjaty se jmény A. Denjoy, N. Luzin, O. Perron, A. Khintchine.

Druhá vlna zájmu se vzedmula v padesátých letech minulého století, kdy český matematik prof. Jaroslav Kurzweil objevil alternativní přístup k zavedení takového integrálu (nezávisle na něm dospěl k téže definici R. Henstock). Jejich definice je přes svou geniálnost natolik jednoduchá, že se spekulovalo o jejím zavedení do výuky matematické analýzy; tato myšlenka se však příliš neujala.

V druhé polovině dvacátého století se též rozvíjela vícerozměrná teorie neabsolutně konvergentních integrálů. Zde se ukázalo, že jednoduché definice, kopírující myšlenky z jednorozměrného případu, mají řadu nevýhod. Vývoj pak vyústil do teorie, která je určena opravdovým specialistům. Na jejím rozvoji má největší zásluhy český matematik prof. Washek Pfeffer, žijící v USA. Ve svém nedávném článku (J. Malý: Non-absolutely convergent integrals with respect to distributions. Ann. Mat. Pura Appl. (4) 193 (2014), no. 5, 1457–1484.) jsem oživil toto téma novou definicí, která přináší řadu novinek. Jednou z nich je, že neurčitý integrál zde není množinová funkce, ale funkcionál. Cílem diplomové práce (a oceněného článku) bylo přenést tuto definici do metrických prostorů.

Co podle vás vedlo redakci k ocenění právě tohoto článku?

J.M.: Téma článku je opravdu hodně novátorské. Je samozřejmé, že k rozumné teorii neabsolutně konvergentních integrálů nestačí prostor s mírou, je třeba mít bohatou strukturu. Je jistě překvapením, že struktura metrického prostoru k tomu postačuje. Hlavní motivací k Pfefferově integrálu je věta o divergenci s neabsolutně konvergentním vnitřním integrálem, my máme neabsolutně konvergentní i hraniční integrál. Pfefferova věta o divergenci dává Stokesovu větu na hladkých varietách, kdežto integrál v metrickém prostoru jde daleko za nehladké variety. V neposlední řadě jde o o výše zmíněný funkcionální přístup a eleganci teorie: k vybudování Pfefferova integrálu je zapotřebí vyjít z mnohem hlubších základů.

Existují možnosti, jak popsané téma dále rozvíjet?

K.K.: V článku jsme pouze odstartovali studium tématu. Zůstává řada otevřených problémů, kterým se chci během doktorského studia věnovat. Doposud jsme zmínili pouze ukazatele, kde srovnání s Pfefferovou teorií vychází pro nás příznivě. V jiných ještě máme co dohánět. Snažíme se dospět k integrálu, který by sdružoval výhody obou přístupů.

J.M.: Rýsuje se možnost uplatnění neabsolutně konvergentních integrálů v teorii parciálních diferenciálních rovnic. Chtěl bych co nejvíc zapojit studenty do tohoto výzkumu. Sám se na tom budu také podílet, ale mým hlavním oborem je teorie sobolevovských zobrazení, a tu nechci zanedbávat.

- OMK -